Скаларно произведение

Скаларното произведение се дефинира между два вектора и отразява връзката между дължините на векторите и ъгъла между тях.

Скаларно произведение

Скаларното произведение дефинираме между два вектора. Означаваме го като обикновено произведение, със средна точка: $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$. Резултатът от скаларното произведение е реално число, не е вектор. Ако имаме два вектора $\overrightarrow{u}(u_1;u_2)$ и $\overrightarrow{v}(v_1;v_2)$, то скаларното им произведение е равно на:

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2$$

Ако поне един от векторите $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{v}$ е нулев, определяме произведението им така:

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$$

Какъв е геометричният смисъл на скаларното произведение? За скаларното произведение на два вектора е изпълнено и

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \cos \alpha ,$$

където α е мярката на ъгъла между тези вектори. Тази формула ни дава лесен начин да намерим мярката на ъгъла между два вектора. Ако от формулата изразим косинуса, получаваме формулата:

$$\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|}=\frac{u_1{v}_1+u_2{v}_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

Формулата важи в равнината. Ако работим в пространството, трябва да добавим още едно измерение. Вече можем да начертаем геометричния смисъл на скаларното произведение.

Ако умножим скаларно векторите $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{v}$ и разделим резултата на дължината на вектора $\overrightarrow{u}$, получаваме дължината на отсечката AD, която е дължината на проекцията на вектора $\overrightarrow{v}$ върху посоката на вектора $\overrightarrow{u}$.

Проверка за прав ъгъл

Скаларното произведение можем да използваме, за да проверим дали ъгълът между векторите е равен на 90°. Кога скаларното произведение ще бъде равно на нула? Ако погледнем формулата…

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \cos \alpha$$

… ще видим, че произведението $|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|$ очевидно винаги ще бъде различно от нула (ъгъл между нулеви вектори не дефинираме, така че сега се занимаваме само с ненулеви вектори). Дължините на векторите винаги са положителни, както и произведението им. Единственият множител, който може да направи целия израз равен на нула, е косинусът. Кога косинусът е равен на нула? Когато ъгълът е равен на 90° (или на 270° – само че тогава правият ъгъл е от другата страна). Следователно векторите сключват прав ъгъл тогава и само тогава, когато скаларното им произведение е равно на нула.

Пример: дадени са трите вектора ${\overrightarrow{u}}_1(-2;4),{\overrightarrow{u}}_2(2;1),{\overrightarrow{u}}_3(1;4)$. Кои от тях са перпендикулярни един на друг? Последователно пресмятаме скаларното произведение на всички двойки вектори:

$$\begin{array}{rcl}{\overrightarrow{u}}_1\cdot {\overrightarrow{u}}_2=-2\cdot 2+4\cdot 1& =& 0\\ {\overrightarrow{u}}_1\cdot {\overrightarrow{u}}_3=-2\cdot 1+4\cdot 4& =& 14\\ {\overrightarrow{u}}_2\cdot {\overrightarrow{u}}_3=2\cdot 1+1\cdot 4& =& 6\end{array}$$

Според скаларното произведение прав ъгъл има само между векторите ${\overrightarrow{u}}_1$ и ${\overrightarrow{u}}_2$. Можеш да разгледаш чертежа с тези вектори:

Нека опитаме да пресметнем и ъгъла между векторите ${\overrightarrow{u}}_1$ и ${\overrightarrow{u}}_3$. Просто заместваме във формулата:

$$\begin{array}{rcl}\cos \alpha & =& \frac{-2\cdot 1+4\cdot 4}{\sqrt{(-2{)}^2+4^2}\cdot \sqrt{1^2+4^2}}\\ & =& \frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{17}}\\ & =& \frac{14}{\sqrt{340}}\\ & \approx & \frac{14}{\mathrm{18,439}}\end{array}$$

Ако пресметнем арккосинуса, получаваме мярката на ъгъла. Резултатът е ъгъл с мярка приблизително 40°.