Skalärprodukt

Skalärprodukten definieras mellan två vektorer och beskriver sambandet mellan vektorernas längder och vinkeln mellan dem.

Skalärprodukt

Skalärprodukten definierar vi mellan två vektorer. Vi skriver den som en vanlig produkt, med en multiplikationspunkt: $\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}$. Resultatet av en skalärprodukt är ett reellt tal, inte en vektor. Om vi har två vektorer $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)$ och $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2)$ är deras skalärprodukt lika med:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=u_1{v}_1+u_2{v}_2$$

Om minst en av vektorerna $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ och $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ är nollvektorn definierar vi deras produkt så här:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=0$$

Vad är skalärproduktens geometriska betydelse? För skalärprodukten av två vektorer gäller också att

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \cos \alpha ,$$

där α är vinkeln mellan vektorerna. Med den här formeln kan vi enkelt ta reda på vinkeln mellan två vektorer. Om vi löser ut cosinus ur formeln får vi:

$$\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}}{|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|}=\frac{u_1{v}_1+u_2{v}_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

Formeln gäller i planet. I rummet måste vi lägga till en dimension till. Nu kan vi också rita upp den geometriska betydelsen av skalärprodukten.

Om vi skalärmultiplicerar vektorerna $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ och $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ och delar resultatet med längden av vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ får vi längden av sträckan AD, som är längden av projektionen av vektorn $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ på riktningen hos vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

Testa om vinkeln är rät

Skalärprodukten kan vi använda för att testa om vinkeln mellan vektorerna är 90°. När är skalärprodukten lika med noll? Vi tittar på formeln …

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \cos \alpha$$

… och ser att produkten $|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|$ uppenbarligen alltid är skild från noll (vinkeln mellan nollvektorer definierar vi inte, så vi tittar bara på vektorer som inte är nollvektorer). Vektorernas längder är alltid positiva, och det är deras produkt också. Det enda som kan göra hela uttrycket lika med noll är cosinus. När är cosinus lika med noll? När vinkeln är 90° (eller 270°, men då ligger den räta vinkeln på andra sidan). Det gäller alltså att vektorerna bildar en rät vinkel om och endast om deras skalärprodukt är noll.

Exempel: vi har tre vektorer ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=(-2,4),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=(2,1),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=(1,4)$. Vilka av dem är vinkelräta mot varandra? Vi beräknar skalärprodukten av alla par:

$$\begin{array}{rcl}{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=-2\cdot 2+4\cdot 1& =& 0\\ {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=-2\cdot 1+4\cdot 4& =& 14\\ {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=2\cdot 1+1\cdot 4& =& 6\end{array}$$

Enligt skalärprodukten är vinkeln rät bara mellan vektorerna ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1$ och ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2$. Du kan titta på en figur med de här vektorerna:

Vi provar också att beräkna vinkeln mellan vektorerna ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1$ och ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3$. Vi sätter helt enkelt in i formeln:

$$\begin{array}{rcl}\cos \alpha & =& \frac{-2\cdot 1+4\cdot 4}{\sqrt{(-2{)}^2+4^2}\cdot \sqrt{1^2+4^2}}\\ & =& \frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{17}}\\ & =& \frac{14}{\sqrt{340}}\\ & \approx & \frac{14}{\mathrm{18,439}}\end{array}$$

Om vi beräknar arcus cosinus får vi vinkelns storlek. Resultatet är en vinkel på ungefär 40°.