Pistetulo

Pistetulo eli skalaaritulo määritellään kahden vektorin välille, ja se kuvaa vektorien pituuksien ja niiden välisen kulman yhteyttä.

Pistetulo

Pistetulo määritellään kahden vektorin välille. Sitä merkitään kuten tavallista tuloa keskipisteellä: $\overline{u}\cdot \overline{v}$. Pistetulon tulos on reaaliluku, ei vektori. Jos meillä on kaksi vektoria $\overline{u}=(u_1,u_2)$ ja $\overline{v}=(v_1,v_2)$, niiden pistetulo on

$$\overline{u}\cdot \overline{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2$$

Jos ainakin toinen vektoreista $\overline{u}$ ja $\overline{v}$ on nollavektori, määrittelemme niiden tulon seuraavasti:

$$\overline{u}\cdot \overline{v}=0$$

Mikä on pistetulon geometrinen merkitys? Kahden vektorin pistetulolle pätee myös

$$\overline{u}\cdot \overline{v}=|\overline{u}|\cdot |\overline{v}|\cdot \cos \alpha ,$$

missä α on näiden vektorien välisen kulman suuruus. Tämä kaava antaa yksinkertaisen tavan selvittää kahden vektorin välinen kulma. Kun kaavasta ratkaistaan kosini, saadaan kaava:

$$\cos \alpha =\frac{\overline{u}\cdot \overline{v}}{|\overline{u}|\cdot |\overline{v}|}=\frac{u_1{v}_1+u_2{v}_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

Kaava pätee tasossa. Jos liikumme avaruudessa, meidän täytyy lisätä vielä yksi ulottuvuus. Nyt voimme jo piirtää pistetulon geometrisen merkityksen.

Kun lasketaan vektorien $\overline{u}$ ja $\overline{v}$ pistetulo ja tulos jaetaan vektorin $\overline{u}$ pituudella, saadaan janan AD pituus. Se on vektorin $\overline{v}$ vektorin $\overline{u}$ suuntaisen projektion pituus.

Suoran kulman tutkiminen

Pistetulolla voidaan tutkia, onko vektorien välinen kulma 90°. Milloin pistetulo on nolla? Kun katsomme kaavaa…

$$\overline{u}\cdot \overline{v}=|\overline{u}|\cdot |\overline{v}|\cdot \cos \alpha$$

… huomaamme, että tulo $|\overline{u}|\cdot |\overline{v}|$ on selvästi aina nollasta poikkeava (nollavektorien välistä kulmaa ei määritellä, joten tarkastelemme nyt vain nollasta poikkeavia vektoreita). Vektorien pituudet ovat aina positiivisia, samoin niiden tulo. Ainoa tekijä, joka voi tehdä koko lausekkeesta nollan, on kosini. Milloin kosini on nolla? Kun kulma on 90° (tai 270°, mutta silloin suora kulma on toisella puolella). Pätee siis, että vektorien välinen kulma on suora, jos ja vain jos niiden pistetulo on nolla.

Esimerkki: meillä on nämä kolme vektoria: ${\overline{u}}_1=(-2,4),{\overline{u}}_2=(2,1),{\overline{u}}_3=(1,4)$. Mitkä niistä ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan? Lasketaan kaikkien vektorien pistetulot yksi kerrallaan:

$$\begin{array}{rcl}{\overline{u}}_1\cdot {\overline{u}}_2=-2\cdot 2+4\cdot 1& =& 0\\ {\overline{u}}_1\cdot {\overline{u}}_3=-2\cdot 1+4\cdot 4& =& 14\\ {\overline{u}}_2\cdot {\overline{u}}_3=2\cdot 1+1\cdot 4& =& 6\end{array}$$

Pistetulon mukaan suora kulma on vain vektorien ${\overline{u}}_1$ ja ${\overline{u}}_2$ välillä. Voit katsoa kuvaa näistä vektoreista:

Kokeillaan vielä laskea vektorien ${\overline{u}}_1$ ja ${\overline{u}}_3$ välinen kulma. Sijoitetaan yksinkertaisesti kaavaan:

$$\begin{array}{rcl}\cos \alpha & =& \frac{-2\cdot 1+4\cdot 4}{\sqrt{(-2{)}^2+4^2}\cdot \sqrt{1^2+4^2}}\\ & =& \frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{17}}\\ & =& \frac{14}{\sqrt{340}}\\ & \approx & \frac{14}{\mathrm{18,439}}\end{array}$$

Kun lasketaan arkuskosini, saadaan kulman suuruus. Tulokseksi tulee noin 40°:n kulma.