Skalarprodukt

Skalarproduktet er definert mellom to vektorer og sier noe om forholdet mellom lengdene til vektorene og vinkelen mellom dem.

Skalarprodukt

Skalarproduktet definerer vi mellom to vektorer. Vi skriver det som et vanlig produkt, med en prikk midt på linjen: $\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}$. Resultatet av skalarproduktet er et reelt tall, ikke en vektor. Hvis vi har to vektorer $\overrightarrow{\mathbf{u}}=[u_1,u_2]$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}=[v_1,v_2]$, er skalarproduktet deres lik:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=u_1{v}_1+u_2{v}_2$$

Hvis minst én av vektorene $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ er nullvektoren, definerer vi produktet slik:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=0$$

Hva er den geometriske betydningen av skalarproduktet? For skalarproduktet av to vektorer gjelder også

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \cos \alpha ,$$

der α er vinkelen mellom vektorene. Denne formelen gir oss en enkel måte å finne vinkelen mellom to vektorer på. Hvis vi løser formelen med hensyn på cosinus, får vi:

$$\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}}{|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|}=\frac{u_1{v}_1+u_2{v}_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

Formelen gjelder i planet. Hvis vi arbeider i rommet, må vi legge til enda en dimensjon. Nå kan vi tegne den geometriske betydningen av skalarproduktet.

Når vi tar skalarproduktet av vektorene $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ og deler resultatet på lengden av vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, får vi lengden av linjestykket AD, som er lengden av projeksjonen av vektoren $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ på retningen til vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

Test for rett vinkel

Vi kan bruke skalarproduktet til å teste om vinkelen mellom vektorene er 90°. Når er skalarproduktet lik null? Hvis vi ser på formelen …

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \cos \alpha$$

… ser vi at produktet $|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|$ åpenbart alltid er forskjellig fra null (vinkelen mellom nullvektorer er ikke definert, så nå ser vi bare på vektorer som ikke er nullvektorer). Lengdene av vektorene er alltid positive, og det samme gjelder produktet av dem. Det eneste leddet som kan gjøre hele uttrykket til null, er cosinus. Når er cosinus lik null? Når vinkelen er 90° (eller 270°, men da ligger den rette vinkelen på den andre siden). Dermed står to vektorer vinkelrett på hverandre hvis og bare hvis skalarproduktet deres er null.

Eksempel: Vi har disse tre vektorene: ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=[-2,4],{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=[2,1],{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=[1,4]$. Hvilke av dem står vinkelrett på hverandre? Vi regner ut skalarproduktet av alle parene etter tur:

$$\begin{array}{rcl}{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=-2\cdot 2+4\cdot 1& =& 0\\ {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=-2\cdot 1+4\cdot 4& =& 14\\ {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=2\cdot 1+1\cdot 4& =& 6\end{array}$$

Ifølge skalarproduktet er det bare mellom vektorene ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1$ og ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2$ det er en rett vinkel. Du kan se på figuren med disse vektorene:

La oss også prøve å regne ut vinkelen mellom vektorene ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1$ og ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3$. Vi setter bare inn i formelen:

$$\begin{array}{rcl}\cos \alpha & =& \frac{-2\cdot 1+4\cdot 4}{\sqrt{(-2{)}^2+4^2}\cdot \sqrt{1^2+4^2}}\\ & =& \frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{17}}\\ & =& \frac{14}{\sqrt{340}}\\ & \approx & \frac{14}{\mathrm{18,439}}\end{array}$$

Hvis vi regner ut arccos, får vi størrelsen på vinkelen. Resultatet er en vinkel på omtrent 40°.