Prodotto scalare

Il prodotto scalare si definisce tra due vettori e mette in relazione i moduli dei vettori con l’angolo che formano.

Prodotto scalare

Il prodotto scalare si definisce tra due vettori. Lo indichiamo come un comune prodotto, con il puntino centrale: $\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}$. Il risultato del prodotto scalare è un numero reale, non un vettore. Se abbiamo due vettori $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1;u_2)$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1;v_2)$, il loro prodotto scalare è uguale a:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=u_1{v}_1+u_2{v}_2$$

Se almeno uno dei vettori $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ è nullo, definiamo il loro prodotto così:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=0$$

Qual è il significato geometrico del prodotto scalare? Per il prodotto scalare di due vettori vale anche

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \cos \alpha ,$$

dove α rappresenta l’ampiezza dell’angolo tra i due vettori. Questa formula ci dà un modo semplice per trovare l’ampiezza dell’angolo tra due vettori. Se da questa formula isoliamo il coseno, otteniamo:

$$\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}}{|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|}=\frac{u_1{v}_1+u_2{v}_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

La formula vale nel piano. Se ci muoviamo nello spazio, dobbiamo aggiungere ancora una dimensione. A questo punto possiamo disegnare il significato geometrico del prodotto scalare.

Se moltiplichiamo scalarmente i vettori $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ e dividiamo il risultato per il modulo del vettore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, otteniamo la lunghezza del segmento AD, che è il modulo della proiezione del vettore $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ nella direzione del vettore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

Verificare l’angolo retto

Il prodotto scalare si può usare per verificare se l’angolo tra due vettori è di 90°. Quando il prodotto scalare è uguale a zero? Guardiamo la formula…

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \cos \alpha$$

… e vediamo che il prodotto $|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|$ è sempre diverso da zero (l’angolo tra vettori nulli non si definisce, quindi ora consideriamo soltanto vettori non nulli). I moduli dei vettori sono sempre positivi, e così pure il loro prodotto. L’unico fattore che può azzerare l’intera espressione è il coseno. Quando il coseno è uguale a zero? Quando l’angolo è di 90° (oppure di 270°, ma in quel caso l’angolo retto si trova dall’altra parte). Vale quindi che due vettori formano un angolo retto se e solo se il loro prodotto scalare è uguale a zero.

Esempio: prendiamo questi tre vettori: ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=(-2;4),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=(2;1),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=(1;4)$. Quali sono ortogonali tra loro? Calcoliamo uno dopo l’altro il prodotto scalare di tutte le coppie di vettori:

$$\begin{array}{rcl}{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=-2\cdot 2+4\cdot 1& =& 0\\ {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=-2\cdot 1+4\cdot 4& =& 14\\ {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=2\cdot 1+1\cdot 4& =& 6\end{array}$$

Dai prodotti scalari risulta che l’angolo retto c’è soltanto tra i vettori ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1$ e ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2$. Puoi osservare la figura con questi vettori:

Proviamo ora a calcolare l’angolo tra i vettori ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1$ e ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3$. Basta sostituire nella formula:

$$\begin{array}{rcl}\cos \alpha & =& \frac{-2\cdot 1+4\cdot 4}{\sqrt{(-2{)}^2+4^2}\cdot \sqrt{1^2+4^2}}\\ & =& \frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{17}}\\ & =& \frac{14}{\sqrt{340}}\\ & \approx & \frac{14}{\mathrm{18,439}}\end{array}$$

Se calcoliamo l’arcocoseno, otteniamo l’ampiezza dell’angolo. Il risultato è un angolo di circa 40°.