Producto escalar

El producto escalar se define entre dos vectores y recoge la relación entre los módulos de los vectores y el ángulo que forman.

Producto escalar

El producto escalar se define entre dos vectores. Lo escribimos como un producto corriente, con un punto en medio: $\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}$. El resultado del producto escalar es un número real, no es un vector. Si tenemos dos vectores $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)$ y $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2)$, su producto escalar es igual a:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=u_1{v}_1+u_2{v}_2$$

Si al menos uno de los vectores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ y $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ es nulo, definimos su producto así:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=0$$

¿Cuál es el significado geométrico del producto escalar? Para el producto escalar de dos vectores se cumple también

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \cos \alpha ,$$

donde α representa la amplitud del ángulo entre estos vectores. Esta fórmula nos da una forma sencilla de hallar el ángulo entre dos vectores. Si despejamos el coseno de esta fórmula, obtenemos:

$$\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}}{|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|}=\frac{u_1{v}_1+u_2{v}_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

La fórmula vale en el plano. Si nos movemos en el espacio, hay que añadir una dimensión más. Ya podemos dibujar el significado geométrico del producto escalar.

Si multiplicamos escalarmente los vectores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ y $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ y dividimos el resultado entre la longitud del vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, obtenemos la longitud del segmento AD, que es el módulo de la proyección del vector $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ sobre la dirección del vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

Comprobar si hay un ángulo recto

Con el producto escalar podemos comprobar si el ángulo entre los vectores es igual a 90°. ¿Cuándo será nulo el producto escalar? Si miramos la fórmula…

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \cos \alpha$$

… vemos que el producto $|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|$ será siempre distinto de cero (el ángulo entre vectores nulos no se define, así que ahora tratamos solo vectores no nulos). Los módulos de los vectores serán siempre positivos, y también su producto. El único factor que puede anular toda la expresión es el coseno. ¿Cuándo es el coseno igual a cero? Cuando el ángulo es igual a 90° (o a 270°, pero entonces el ángulo recto queda al otro lado). Por tanto, los vectores forman un ángulo recto si y solo si su producto escalar es igual a cero.

Ejemplo: tenemos estos tres vectores: ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=(-2,4),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=(2,1),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=(1,4)$. ¿Cuáles de ellos son perpendiculares entre sí? Calculamos sucesivamente el producto escalar de todos los vectores:

$$\begin{array}{rcl}{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=-2\cdot 2+4\cdot 1& =& 0\\ {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=-2\cdot 1+4\cdot 4& =& 14\\ {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=2\cdot 1+1\cdot 4& =& 6\end{array}$$

Según el producto escalar, solo hay un ángulo recto entre los vectores ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1$ y ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2$. Puedes ver la figura con estos vectores:

Probemos también a calcular el ángulo entre los vectores ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1$ y ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3$. Simplemente sustituimos en la fórmula:

$$\begin{array}{rcl}\cos \alpha & =& \frac{-2\cdot 1+4\cdot 4}{\sqrt{(-2{)}^2+4^2}\cdot \sqrt{1^2+4^2}}\\ & =& \frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{17}}\\ & =& \frac{14}{\sqrt{340}}\\ & \approx & \frac{14}{\mathrm{18,439}}\end{array}$$

Si calculamos el arcocoseno, obtenemos la amplitud del ángulo. El resultado es un ángulo de aproximadamente 40°.