Skaler Çarpım

Skaler çarpım iki vektör arasında tanımlanır ve vektörlerin uzunlukları ile aralarındaki açı arasındaki ilişkiyi yansıtır.

Skaler Çarpım

Skaler çarpımı iki vektör arasında tanımlarız. Sıradan çarpmadaki gibi nokta işaretiyle gösteririz: $\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}$. Skaler çarpımın sonucu bir gerçek sayıdır, vektör değildir. $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)$ ve $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2)$ vektörlerimiz varsa skaler çarpımları şuna eşittir:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=u_1{v}_1+u_2{v}_2$$

$\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ve $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ vektörlerinden en az biri sıfır vektörse çarpımlarını şöyle tanımlarız:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=0$$

Skaler çarpımın geometrik anlamı nedir? İki vektörün skaler çarpımı için ayrıca şu da geçerlidir:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \cos \alpha ,$$

burada α bu vektörler arasındaki açının ölçüsüdür. Bu formül, iki vektör arasındaki açının ölçüsünü bulmanın basit bir yolunu verir. Bu formülden kosinüsü yalnız bırakırsak şu formülü elde ederiz:

$$\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}}{|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|}=\frac{u_1{v}_1+u_2{v}_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

Formül düzlemde geçerlidir. Uzayda çalışıyorsak bir boyut daha eklememiz gerekir. Artık skaler çarpımın geometrik anlamını çizebiliriz.

$\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ve $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ vektörlerini skaler olarak çarpıp sonucu $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörünün uzunluğuna bölersek, AD doğru parçasının uzunluğunu buluruz. Bu, $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ vektörünün $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörünün doğrultusu üzerindeki izdüşümünün uzunluğudur.

Dik Açıyı Test Etme

Skaler çarpımı, vektörler arasındaki açının 90° olup olmadığını test etmek için kullanabiliriz. Skaler çarpım ne zaman sıfır olur? Formüle bakalım…

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \cos \alpha$$

… $|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|$ çarpımının her zaman sıfırdan farklı olduğunu görürüz (sıfır vektörler arasındaki açıyı tanımlamıyoruz, o yüzden şimdilik yalnızca sıfırdan farklı vektörlerle ilgileniyoruz). Vektörlerin uzunlukları hep pozitiftir, çarpımları da öyle. İfadenin tamamını sıfıra indirebilecek tek çarpan kosinüstür. Kosinüs ne zaman sıfırdır? Açı 90° olduğunda (ya da 270° olduğunda; ama bu durumda dik açı öbür tarafta olur). Yani iki vektörün dik açı yapması için gerek ve yeter koşul, skaler çarpımlarının sıfır olmasıdır.

Örnek: şu üç vektör verilsin: ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=(-2,4),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=(2,1),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=(1,4)$. Hangileri birbirine diktir? Tüm vektörlerin skaler çarpımını sırayla hesaplarız:

$$\begin{array}{rcl}{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=-2\cdot 2+4\cdot 1& =& 0\\ {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=-2\cdot 1+4\cdot 4& =& 14\\ {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=2\cdot 1+1\cdot 4& =& 6\end{array}$$

Skaler çarpıma göre dik açı yalnızca ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1$ ve ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2$ vektörleri arasındadır. Bu vektörlerin olduğu şekle bakabilirsin:

Şimdi de ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1$ ve ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3$ vektörleri arasındaki açıyı hesaplayalım. Değerleri formülde yerine yazarız:

$$\begin{array}{rcl}\cos \alpha & =& \frac{-2\cdot 1+4\cdot 4}{\sqrt{(-2{)}^2+4^2}\cdot \sqrt{1^2+4^2}}\\ & =& \frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{17}}\\ & =& \frac{14}{\sqrt{340}}\\ & \approx & \frac{14}{\mathrm{18,439}}\end{array}$$

Arkkosinüsü hesaplarsak açının ölçüsünü buluruz. Sonuç yaklaşık 40°’lik bir açıdır.