Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist zwischen zwei Vektoren definiert und erfasst den Zusammenhang zwischen den Beträgen der Vektoren und ihrem Winkel.

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt definieren wir zwischen zwei Vektoren. Wir bezeichnen es wie ein gewöhnliches Produkt mit dem Malpunkt: $\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}$. Das Ergebnis des Skalarprodukts ist eine reelle Zahl, kein Vektor. Haben wir zwei Vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)$, dann ist ihr Skalarprodukt gleich:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=u_1{v}_1+u_2{v}_2$$

Ist mindestens einer der Vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ und $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ ein Nullvektor, definieren wir ihr Produkt so:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=0$$

Was ist die geometrische Bedeutung des Skalarprodukts? Für das Skalarprodukt zweier Vektoren gilt außerdem

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \cos \alpha ,$$

wobei α die Größe des Winkels zwischen diesen Vektoren ist. Diese Formel gibt uns eine einfache Möglichkeit, die Größe des Winkels zwischen zwei Vektoren zu bestimmen. Wenn wir diese Formel nach dem Kosinus auflösen, erhalten wir die Formel:

$$\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}}{|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|}=\frac{u_1{v}_1+u_2{v}_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

Die Formel gilt in der Ebene. Bewegen wir uns im Raum, müssen wir noch eine Dimension hinzufügen. Jetzt können wir auch die geometrische Bedeutung des Skalarprodukts zeichnen.

Wenn wir die Vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ und $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ skalar multiplizieren und das Ergebnis durch die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dividieren, erhalten wir die Länge der Strecke AD, also den Betrag der Projektion des Vektors $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ auf die Richtung des Vektors $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

Test auf einen rechten Winkel

Mit dem Skalarprodukt können wir testen, ob der Winkel zwischen den Vektoren 90° beträgt. Wann ist das Skalarprodukt gleich null? Wenn wir uns die Formel ansehen …

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \cos \alpha$$

… stellen wir fest, dass das Produkt $|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|$ offensichtlich immer ungleich null ist (der Winkel zwischen Nullvektoren ist nicht definiert, wir beschäftigen uns also jetzt nur mit Vektoren ungleich dem Nullvektor). Die Beträge der Vektoren sind immer positiv, ebenso ihr Produkt. Der einzige Faktor, der den ganzen Term auf null bringen kann, ist der Kosinus. Wann ist der Kosinus gleich null? Wenn der Winkel 90° beträgt (oder 270° – der rechte Winkel liegt dann aber auf der anderen Seite). Es gilt also: Die Vektoren schließen genau dann einen rechten Winkel ein, wenn ihr Skalarprodukt null ist.

Beispiel: Wir haben diese drei Vektoren: ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\end{array}\right),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right)$. Welche davon stehen aufeinander senkrecht? Wir berechnen nacheinander das Skalarprodukt aller Vektoren:

$$\begin{array}{rcl}{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=-2\cdot 2+4\cdot 1& =& 0\\ {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=-2\cdot 1+4\cdot 4& =& 14\\ {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=2\cdot 1+1\cdot 4& =& 6\end{array}$$

Wie die Skalarprodukte zeigen, gibt es nur zwischen den Vektoren ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1$ und ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2$ einen rechten Winkel. Du kannst dir die Abbildung mit diesen Vektoren ansehen:

Versuchen wir noch, den Winkel zwischen den Vektoren ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1$ und ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3$ zu berechnen. Wir setzen einfach in die Formel ein:

$$\begin{array}{rcl}\cos \alpha & =& \frac{-2\cdot 1+4\cdot 4}{\sqrt{(-2{)}^2+4^2}\cdot \sqrt{1^2+4^2}}\\ & =& \frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{17}}\\ & =& \frac{14}{\sqrt{340}}\\ & \approx & \frac{14}{\mathrm{18,439}}\end{array}$$

Wenn wir den Arkuskosinus berechnen, erhalten wir die Winkelgröße. Das Ergebnis ist ein Winkel von ungefähr 40°.