Produsul scalar

Produsul scalar se definește între doi vectori și leagă modulele vectorilor de unghiul dintre ei.

Produsul scalar

Produsul scalar îl definim între doi vectori. Îl notăm ca un produs obișnuit, cu punct la mijloc: $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$. Rezultatul produsului scalar este un număr real, nu un vector. Dacă avem doi vectori $\overrightarrow{u}(u_1,u_2)$ și $\overrightarrow{v}(v_1,v_2)$, produsul lor scalar este egal cu:

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2$$

Dacă cel puțin unul dintre vectorii $\overrightarrow{u}$ și $\overrightarrow{v}$ este nul, definim produsul lor astfel:

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$$

Care este semnificația geometrică a produsului scalar? Pentru produsul scalar a doi vectori avem totodată

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \cos \alpha ,$$

unde α este măsura unghiului dintre acești vectori. Această formulă ne oferă un mod simplu de a afla măsura unghiului dintre doi vectori. Dacă din formulă izolăm cosinusul, obținem relația:

$$\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|}=\frac{u_1{v}_1+u_2{v}_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

Formula este valabilă în plan. Dacă ne aflăm în spațiu, trebuie să adăugăm încă o dimensiune. Acum putem desena semnificația geometrică a produsului scalar.

Dacă înmulțim scalar vectorii $\overrightarrow{u}$ și $\overrightarrow{v}$, iar rezultatul îl împărțim la lungimea vectorului $\overrightarrow{u}$, obținem lungimea segmentului AD, adică mărimea proiecției vectorului $\overrightarrow{v}$ pe direcția vectorului $\overrightarrow{u}$.

Testarea unghiului drept

Produsul scalar îl putem folosi pentru a testa dacă unghiul dintre vectori este de 90°. Când este produsul scalar egal cu zero? Dacă ne uităm la formula…

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \cos \alpha$$

… vedem că produsul $|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|$ este evident mereu nenul (unghiul dintre vectori nuli nu se definește, deci ne ocupăm acum doar de vectori nenuli). Modulele vectorilor sunt mereu pozitive, deci și produsul lor. Singura expresie care poate anula întreaga expresie este cosinusul. Când este cosinusul egal cu zero? Când unghiul este de 90° (sau 270° – dar unghiul drept va fi atunci de cealaltă parte). Prin urmare, vectorii formează un unghi drept dacă și numai dacă produsul lor scalar este egal cu zero.

Exemplu: fie vectorii ${\overrightarrow{u}}_1(-2,4),{\overrightarrow{u}}_2(2,1),{\overrightarrow{u}}_3(1,4)$. Care dintre ei sunt perpendiculari? Calculăm pe rând produsul scalar al tuturor perechilor:

$$\begin{array}{rcl}{\overrightarrow{u}}_1\cdot {\overrightarrow{u}}_2=-2\cdot 2+4\cdot 1& =& 0\\ {\overrightarrow{u}}_1\cdot {\overrightarrow{u}}_3=-2\cdot 1+4\cdot 4& =& 14\\ {\overrightarrow{u}}_2\cdot {\overrightarrow{u}}_3=2\cdot 1+1\cdot 4& =& 6\end{array}$$

Conform produsului scalar, unghi drept există doar între vectorii ${\overrightarrow{u}}_1$ și ${\overrightarrow{u}}_2$. Poți vedea figura cu acești vectori:

Încercăm să calculăm și unghiul dintre vectorii ${\overrightarrow{u}}_1$ și ${\overrightarrow{u}}_3$. Înlocuim pur și simplu în formulă:

$$\begin{array}{rcl}\cos \alpha & =& \frac{-2\cdot 1+4\cdot 4}{\sqrt{(-2{)}^2+4^2}\cdot \sqrt{1^2+4^2}}\\ & =& \frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{17}}\\ & =& \frac{14}{\sqrt{340}}\\ & \approx & \frac{14}{\mathrm{18,439}}\end{array}$$

Dacă calculăm arccosinusul, obținem măsura unghiului. Rezultatul este un unghi de aproximativ 40°.