Skaláris szorzat

A skaláris szorzatot két vektor között értelmezzük, és a vektorok hossza és a hajlásszögük közötti kapcsolatot fejezi ki.

Skaláris szorzat

A skaláris szorzatot két vektor között értelmezzük. A közönséges szorzathoz hasonlóan jelöljük, középső ponttal: $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$. A skaláris szorzat eredménye valós szám, nem vektor. Ha adott két vektor, $\overrightarrow{u}(u_1;u_2)$ és $\overrightarrow{v}(v_1;v_2)$, akkor a skaláris szorzatuk:

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2$$

Ha az $\overrightarrow{u}$ és a $\overrightarrow{v}$ vektor közül legalább az egyik nullvektor, a szorzatukat így definiáljuk:

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$$

Mi a skaláris szorzat geometriai jelentése? Két vektor skaláris szorzatára egyúttal az is teljesül, hogy

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \cos \alpha ,$$

ahol α a két vektor hajlásszögének nagysága. Ez a képlet egyszerű módszert ad két vektor hajlásszögének meghatározására. Ha ebből a képletből kifejezzük a koszinuszt, a következő képletet kapjuk:

$$\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|}=\frac{u_1{v}_1+u_2{v}_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

A képlet a síkra vonatkozik. Ha a térben mozgunk, még egy dimenziót hozzá kell vennünk. Ezzel a skaláris szorzat geometriai jelentését is lerajzolhatjuk.

Ha az $\overrightarrow{u}$ és a $\overrightarrow{v}$ vektort skalárisan szorozzuk, majd az eredményt elosztjuk az $\overrightarrow{u}$ vektor hosszával, megkapjuk az AD szakasz hosszát, ami a $\overrightarrow{v}$ vektor $\overrightarrow{u}$ irányára vett vetületének hossza.

A derékszög vizsgálata

A skaláris szorzattal megvizsgálhatjuk, hogy a vektorok hajlásszöge 90°-e. Mikor lesz a skaláris szorzat nulla? Nézzük a képletet…

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \cos \alpha$$

… és megállapítjuk, hogy a $|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|$ szorzat nyilván sosem nulla (a nullvektor hajlásszögét nem értelmezzük, ezért most csak a nullvektortól különböző vektorokkal foglalkozunk). A vektorok hossza mindig pozitív, így a szorzatuk is. Az egyetlen tényező, amely az egész kifejezést nullára viheti, a koszinusz. Mikor nulla a koszinusz? Ha a szög 90° (vagy 270° – a derékszög ekkor a másik oldalon lesz). Igaz tehát, hogy a vektorok akkor és csak akkor zárnak be derékszöget, ha a skaláris szorzatuk nulla.

Példa: legyen három vektorunk, ${\overrightarrow{u}}_1(-2;4),{\overrightarrow{u}}_2(2;1),{\overrightarrow{u}}_3(1;4)$. Melyek merőlegesek egymásra? Egymás után kiszámítjuk az összes vektorpár skaláris szorzatát:

$$\begin{array}{rcl}{\overrightarrow{u}}_1\cdot {\overrightarrow{u}}_2=-2\cdot 2+4\cdot 1& =& 0\\ {\overrightarrow{u}}_1\cdot {\overrightarrow{u}}_3=-2\cdot 1+4\cdot 4& =& 14\\ {\overrightarrow{u}}_2\cdot {\overrightarrow{u}}_3=2\cdot 1+1\cdot 4& =& 6\end{array}$$

A skaláris szorzat szerint csak az ${\overrightarrow{u}}_1$ és az ${\overrightarrow{u}}_2$ vektor zár be derékszöget. Megnézheted az ezeket a vektorokat ábrázoló képet:

Próbáljuk meg még kiszámítani az ${\overrightarrow{u}}_1$ és az ${\overrightarrow{u}}_3$ vektor hajlásszögét. Egyszerűen behelyettesítünk a képletbe:

$$\begin{array}{rcl}\cos \alpha & =& \frac{-2\cdot 1+4\cdot 4}{\sqrt{(-2{)}^2+4^2}\cdot \sqrt{1^2+4^2}}\\ & =& \frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{17}}\\ & =& \frac{14}{\sqrt{340}}\\ & \approx & \frac{14}{\mathrm{18,439}}\end{array}$$

Ha kiszámítjuk az arkusz koszinuszt, megkapjuk a szög nagyságát. Eredményül körülbelül 40°-os szöget kapunk.