Set terbilang

Keterbilangan set ialah sejenis pengganti bagi saiz set. Bagi set tak terhingga, kita tidak boleh membilang unsurnya, kerana bilangan unsurnya, secara mengejutkan… tak terhingga. Saiz set juga dipanggil kekardinalan.

Saiz set tak terhingga

Saiz set terhingga mudah ditentukan: kita bilang unsurnya. Jadi, set M = {a, b, c, d, e} bersaiz 5, dan kita tulis |M| = 5.

Bagi set tak terhingga, keadaannya jauh lebih rumit. Bagaimanakah kita membandingkan saiz set tak terhingga? Bolehkah kita melakukannya, atau adakah semua set tak terhingga “sama besar”?

Sebagai contoh, ambil set nombor asli dan set nombor asli genap. Kita mempunyai set ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …} dan S = {2, 4, 6, …}. Kita mungkin tergoda untuk mengatakan bahawa set nombor asli lebih besar daripada set nombor genap, kerana nombor asli mengandungi semua nombor genap, ditambah beberapa unsur lain, iaitu nombor ganjil.

Jadi, kita boleh menulis S ⊂ ℕ, iaitu set S ialah subset wajar bagi set ℕ. Kita juga mungkin mengatakan bahawa jika S ⊂ ℕ, maka set ℕ lebih besar, kerana set itu mengandungi lebih banyak unsur daripada set S.

Salah satu sebab kita tidak boleh mengukur set menggunakan hubungan subset ialah dua set boleh mempunyai saiz yang berbeza walaupun tiada satu pun yang merupakan subset bagi yang lain. Hal ini dapat ditunjukkan dengan set terhingga: A = {1, 3, 4, 9} dan B = {b, u, r, z, m}. Kita dapati |A| = 4 dan |B| = 5. Set B lebih besar daripada set A, tetapi A ⊂ B tidak benar. Bagi set tak terhingga, kita boleh melihatnya pada nombor genap dan nombor ganjil. Tiada satu pun set itu yang merupakan subset bagi yang lain.

Oleh itu, hubungan subset bukan calon yang sesuai untuk menentukan sama ada satu set lebih besar daripada set yang lain.

Bijeksi

Mari kita cuba pendekatan lain. Katakan kita mempunyai dua set, A dan B. Kita katakan bahawa kedua-dua set itu sama saiz jika wujud pemetaan bijektif di antara kedua-duanya. Apakah maksudnya? Kita ambil satu unsur daripada set A dan satu unsur daripada set B, lalu kita bentuk pasangan (a, b). Kita buang kedua-dua unsur itu daripada setnya dan kita teruskan. Jika kita dapat “mengosongkan” kedua-dua set, kita telah menemui pemetaan bijektif.

Contoh dengan set terhingga: A = {a, b, c} dan B = {1, 2, 3}. Pasangan pertama mungkin (a, 1), kemudian (b, 2), dan akhirnya (c, 3). Kita telah menggunakan semua unsur kedua-dua set, maka kita telah menemui pemetaan bijektif. Yang penting, pemetaan ini bukan satu-satunya pemetaan bijektif. Penyelesaian ini juga sah: (a, 3), (b, 1), (c, 2).

Bagi set tak terhingga, keadaannya lebih menarik. Mari kita cuba nombor asli ganjil dan genap. Secara intuitif, kita merasakan bahawa bilangannya sepatutnya sama. Mari kita cuba. Kita ambil nombor ganjil pertama dan petakan kepada nombor genap pertama: (1, 2). Kemudian nombor ganjil kedua dan nombor genap kedua: (3, 4). Dan seterusnya. Kita memperoleh pasangan (1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8), … Kita boleh menulis bahawa setiap nombor ganjil l dipetakan kepada nombor genap l + 1, dan setiap nombor genap s ialah imej bagi nombor ganjil s − 1. Jadi, setiap nombor ganjil dan setiap nombor genap terdapat dalam satu pasangan. Oleh itu, set nombor ganjil dan set nombor genap sama besar.

Nombor genap berbanding nombor asli

Sekarang kita cuba kaedah yang sama untuk membandingkan set nombor asli dengan set nombor genap. Kita mempunyai set ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …} dan S = {2, 4, 6, …}. Secara intuitif, kita menjangkakan set nombor asli lebih besar.

Namun, mari kita cuba mencari pemetaan bijektif. Kita boleh memetakan setiap nombor asli n kepada dua kali gandanya, iaitu 2n. Kita memperoleh pasangan (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10), … Jadi, bagi setiap nombor asli n terdapat pasangan (n, 2n), dan bagi setiap nombor genap s terdapat pasangan (s/2, s). Kita telah menemui pemetaan bijektif. Maka, set nombor genap dan set nombor asli sama besar, iaitu mempunyai kekardinalan yang sama.

Hal ini mungkin kelihatan mengelirukan, kerana nombor asli nampaknya mengandungi lebih banyak unsur daripada nombor genap. Nombor asli mengandungi semua nombor genap dan juga semua nombor ganjil. Walau bagaimanapun, kita dapat mencari bijeksi, maka kedua-dua set itu sama besar.

Perbandingan dengan nombor asli

Sebenarnya, nombor asli menentukan saiz terkecil bagi set tak terhingga. Sama ada suatu set lain mempunyai saiz yang sama dengan set nombor asli selalunya agak mudah ditentukan. Kita hanya perlu mencari bijeksi dengan nombor asli. Dalam praktik, maksudnya kita cukup menomborkan, iaitu menyusun, unsur set M kita.

Jadi, jika kita dapat menyusun unsur suatu set supaya kita dapat menentukan unsur yang pertama, kedua, ketiga, keempat, kesepuluh dan seterusnya, maka set itu sama besar dengan ℕ. Set seperti ini dipanggil set terbilang.

Mudah dilihat bahawa nombor asli genap dan nombor asli ganjil membentuk set terbilang, kerana kita dapat menentukan nombor genap atau ganjil yang pertama, kedua, ketiga dan seterusnya. Bagaimana pula dengan integer genap, iaitu set S = {…, −4, −2, 0, 2, 4, …}? Bolehkah kita menyusunnya? Boleh. Kita gunakan susunan yang sama seperti tadi dan tulis nombor negatif sejurus selepas setiap nombor genap positif: S = {0, 2, −2, 4, −4, 6, −6, …}. Hal yang sama boleh dilakukan, misalnya, bagi integer.

Saiz set nombor nisbah

Contoh yang lebih menarik ialah nombor nisbah, iaitu pecahan. Bolehkah kita menyusunnya? Boleh, tetapi caranya lebih rumit sedikit. Kita bina sebuah jadual dengan tak terhingga banyaknya baris dan lajur. Setiap sel mengandungi satu pecahan. Dalam lajur ke-n dan baris ke-m terdapat pecahan n/m. Jadi, dalam lajur pertama dan baris kedua terdapat $\frac{1}{2}$, dan dalam lajur ketiga dan baris keempat terdapat 3/4.

$$\begin{array}{ccccc}1/1& 2/1& 3/1& 4/1& \dots \\ 1/2& 2/2& 3/2& 4/2& \dots \\ 1/3& 2/3& 3/3& 4/3& \dots \\ 1/4& 2/4& 3/4& 4/4& \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{array}$$

Bagaimanakah kita menyusun atau menomborkan nombor-nombor ini? Kita tidak boleh menomborkannya baris demi baris atau lajur demi lajur, kerana kita akan terus tenggelam dalam baris atau lajur pertama. Sebaliknya, kita ambil nombor mengikut pepenjuru: (pepenjuru pertama:) 1/1, (pepenjuru kedua:) 2/1, 1/2, (pepenjuru ketiga:) 3/1, 2/2, 1/3, (pepenjuru keempat:) 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, … Masih banyak pecahan yang berulang, tetapi hal itu tidak menjadi masalah. Masalah yang lebih besar ialah nombor negatif tiada di situ. Hal ini mudah diselesaikan: setiap kali kita menulis suatu pecahan, kita letakkan nilai negatifnya sejurus selepasnya. Akhir sekali, sifar masih tiada, jadi kita letakkan sifar di awal jujukan. Kini semua nombor nisbah terdapat dalam jujukan kita.

Secara keseluruhan, kita memperoleh jujukan: 0, 1/1, −1/1, 2/1, −2/1, 1/2, −1/2, 3/1, −3/1, 2/2, −2/2, 1/3, −1/3, …

Saiz set nombor nyata

Adakah set nombor nyata sama besar dengan set nombor asli? Soalan ini lebih sukar dijawab berbanding nombor nisbah. Kita akan menggunakan bukti secara percanggahan. Andaikan bahawa set nombor nyata ialah set terbilang dan wujud pemetaan bijektif dengan nombor asli. Jadi, kita andaikan bahawa nombor nyata boleh disusun. Katakan pemetaan berikut ialah susunan tersebut:

$$\begin{array}{ccccccccc}0.& 3& 5& 2& 2& 4& 6& 0& \dots \\ 0.& 2& 9& 2& 4& 3& 7& 5& \dots \\ 0.& 7& 2& 3& 0& 8& 4& 5& \dots \\ 0.& 1& 4& 3& 7& 9& 0& 6& \dots \\ 0.& 0& 8& 6& 5& 7& 5& 8& \dots \\ 0.& 7& 5& 4& 6& 3& 6& 3& \dots \\ 0.& 3& 4& 1& 9& 7& 0& 0& \dots \\ \dots \end{array}$$

Jadual ini menunjukkan tujuh nombor nyata pertama dalam susunan kita. Sudah tentu susunan ini boleh sebarang susunan, dan nombor-nombor itu tidak perlu disusun mengikut saiz.

Menurut andaian, jadual tak terhingga ini mengandungi semua nombor nyata. (Jadual ini juga tak terhingga, di sini hanya tujuh baris pertama yang ditunjukkan.) Sekarang kita cuba mencari atau membina suatu nombor nyata yang tidak tersenarai dalam jadual ini. Jika kita menemui nombor seperti itu, hal ini bercanggah dengan andaian bahawa jadual mengandungi semua nombor nyata. Daripada percanggahan ini, kita dapat menyimpulkan bahawa set nombor nyata bukan set terbilang.

Nombor yang tiada dalam jadual itu kita bina seperti berikut:

$$\begin{array}{ccccccccc}0.& \boxed{\text{3}}& 5& 2& 2& 4& 6& 0& \dots \\ 0.& 2& \boxed{\text{9}}& 2& 4& 3& 7& 5& \dots \\ 0.& 7& 2& \boxed{\text{3}}& 0& 8& 4& 5& \dots \\ 0.& 1& 4& 3& \boxed{\text{7}}& 9& 0& 6& \dots \\ 0.& 0& 8& 6& 5& \boxed{\text{7}}& 5& 8& \dots \\ 0.& 7& 5& 4& 6& 3& \boxed{\text{6}}& 3& \dots \\ 0.& 3& 4& 1& 9& 7& 0& \boxed{\text{0}}& \dots \\ \dots \end{array}$$

Kita mulakan dengan menulis 0.… Beginilah rupa nombor nyata baharu kita pada mulanya. Pada tempat perpuluhan pertama, kita letakkan digit yang berbeza daripada digit pertama nombor nyata pertama dalam susunan kita (dalam jadual, digit itu ditandakan dengan kotak). Digit di situ ialah 3, jadi kita pilih misalnya 1 dan kita memperoleh nombor 0.1…

Kita teruskan. Pada tempat kedua, kita letakkan digit yang berbeza daripada digit kedua nombor nyata kedua. Digit di situ ialah 9, jadi kita pilih misalnya 2. Kita memperoleh nombor 0.12… Pada tempat ketiga, kita letakkan digit yang berbeza daripada digit ketiga nombor nyata ketiga. Digit di situ ialah 3, jadi kita pilih misalnya 7. Kita memperoleh 0.127…

Begitulah seterusnya. Pada kedudukan ke-n nombor baharu, kita sentiasa meletakkan digit yang berbeza daripada digit pada kedudukan ke-n nombor ke-n dalam susunan kita.

Apakah yang kita peroleh? Kita memperoleh nombor yang berbeza daripada setiap nombor dalam susunan kita sekurang-kurangnya pada satu digit. Ambil hasil sementara yang terakhir: 0.127… Nombor ini pasti berbeza daripada nombor pertama dalam susunan kita, sekurang-kurangnya pada digit pertama, kerana begitulah kita membinanya. Nombor ini berbeza daripada nombor kedua sekurang-kurangnya pada digit kedua, dan daripada nombor ketiga pada digit ketiga. Secara umum, nombor baharu ini berbeza daripada nombor di kedudukan ke-n dalam susunan sekurang-kurangnya pada digit ke-n.

Oleh itu, nombor yang baru dibina ini tidak terdapat dalam jadual yang sepatutnya mewakili bijeksi antara nombor asli dengan nombor nyata. Maka, set nombor nyata lebih besar daripada set nombor asli. Set nombor nyata bukan set terbilang, tetapi set tak terbilang.

Sumber lain

• Are there more odd or even numbers?