Nombor nisbah

Nombor nisbah ialah semua nombor yang boleh ditulis sebagai hasil bahagi dua integer, iaitu dalam bentuk pecahan.

Takrif

Jadi, nombor nisbah ialah semua nombor yang boleh ditulis dalam bentuk

$$\frac{a}{b}a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0.$$

Syarat bahawa kedua-dua nombor mestilah integer mempunyai sebab yang jelas. Jika anda memilih nombor yang bukan nombor nisbah, contohnya π, dan membina pecahan seperti ini:

$$\frac{\pi }{1},$$

anda akan memperoleh semula nombor π, yang bukan nombor nisbah. Oleh itu, pengangka dan penyebut mestilah integer. Oleh sebab kita tidak boleh membahagi dengan sifar, penyebut mestilah bukan sifar.

Kita juga boleh mengatakan bahawa nombor nisbah ialah nombor yang perwakilan perpuluhannya terhingga dan nombor yang perwakilan perpuluhannya tak terhingga tetapi sebahagiannya berulang secara berkala. Berikut ialah contoh nombor nisbah, mula-mula dalam bentuk pecahan:

$$\frac{1}{3},-\frac{5}{9},\frac{13}{29},\frac{4}{1},\dots$$

dan seterusnya dalam bentuk perpuluhan: 0.1, −5, 14.5, −12.93, 0.33333…=$0,\bar{3}$

Perpuluhan jadi semula

Dalam contoh sebelum ini, kita ada nombor 0.3333… Nombor ini ialah perwakilan perpuluhan bagi pecahan 1/3, dan perwakilan perpuluhannya tak terhingga. Walaupun begitu, nombor ini ialah nombor nisbah kerana perwakilannya berulang. Perwakilan yang berulang bermaksud bahawa mulai suatu kedudukan, jujukan digit yang sama berulang tanpa henti. Dalam contoh kita, digit 3 berulang hingga ketakterhinggaan. Namun, yang berulang boleh juga jujukan digit seperti 12345. Nombor itu tetap perpuluhan jadi semula, iaitu nombor nisbah.

Jadi, setiap nombor yang perwakilan perpuluhannya terhingga ialah nombor nisbah. Setiap nombor yang perwakilan perpuluhannya tak terhingga tetapi sebahagiannya berulang juga nombor nisbah. Nombor yang perwakilan perpuluhannya tak terhingga dan tiada bahagian yang berulang ialah nombor bukan nisbah.

Bahagian yang berulang ditandakan sama ada dengan tiga titik atau, lebih kerap, dengan garis di atas digit yang berulang. Yang berulang boleh satu digit sahaja, tetapi boleh juga beberapa digit. Bahagian yang berulang boleh bermula serta-merta selepas titik perpuluhan atau di mana-mana kedudukan kemudian. Semua nombor berikut ialah perpuluhan jadi semula:

$$\begin{array}{rclcl}7/3& =& 2.33333\dots & =& 2,\bar{3}\\ 16/11& =& 1.454545\dots & =& 1,\overline{45}\\ 11/6& =& 1.833333\dots & =& 1.8\bar{3}\end{array}$$

Tatatanda dan kegunaan

Nombor nisbah ditandakan dengan huruf Q yang lengkungnya digandakan: ℚ. Huruf ini berasal daripada perkataan Inggeris “quotient”, iaitu hasil bahagi.

Nombor nisbah digunakan untuk menyatakan sebahagian daripada keseluruhan, contohnya “separuh” atau “satu persepuluh”. Kedua-duanya menyatakan sebahagian daripada keseluruhan dan boleh ditulis sebagai nombor nisbah 1/2 dan 1/10. Dalam kes ini, penyebut mewakili keseluruhan dan pengangka mewakili bahagian daripada keseluruhan itu. Jika pengangka sama dengan penyebut, kita mempunyai keseluruhannya. Pecahan seperti ini biasanya ditukarkan kepada peratus.

Sifat

1. Nombor nisbah membentuk set terbilang yang tak terhingga.

• Nombor nisbah tertutup terhadap operasi penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian. Maksudnya, apabila kita membahagi dua nombor nisbah, kita memperoleh nombor nisbah juga. Ini berbeza dengan integer, yang tidak tertutup terhadap pembahagian.
• Nombor nisbah mengandungi semua integer. Jika semua nombor nisbah boleh ditulis sebagai pecahan a/b, cukup ambil b = 1. Selepas pembahagian a/1 = a, kita sentiasa memperoleh semula nilai pengangka.
• Jika kita mengambil dua nombor nisbah a dan b dengan a < b, kita sentiasa dapat mencari satu lagi nombor nisbah q yang memenuhi a < q < b. Dengan kata lain, di antara sebarang dua nombor nisbah, kita sentiasa dapat mencari nombor nisbah yang lain. Versi yang lebih kuat juga benar: di antara sebarang dua nombor nisbah terdapat tak terhingga banyaknya nombor nisbah yang lain.
• Akibat daripada pernyataan sebelum ini, tiada nombor nisbah positif yang terkecil (atau nombor nisbah negatif yang terbesar). Kita boleh membuktikannya dengan bukti secara percanggahan. Andaikan m ialah nombor nisbah positif yang terkecil. Maka, kita tidak sepatutnya dapat mencari nombor nisbah positif yang lebih kecil. Namun, 0 < m, maka menurut pernyataan sebelum ini, wujud nombor nisbah s dengan 0 < s < m. Kita telah menemui nombor s yang lebih besar daripada sifar (positif) dan lebih kecil daripada m. Hal ini bercanggah dengan andaian bahawa m ialah nombor nisbah positif yang terkecil.

Operasi dengan nombor nisbah

Semua operasi asas dihuraikan dalam artikel pecahan.

Menukar perpuluhan jadi semula kepada pecahan

Oleh sebab perpuluhan jadi semula juga nombor nisbah, nombor itu mesti boleh ditukarkan kepada pecahan. Mari kita lihat caranya. Katakan kita mempunyai perpuluhan jadi semula a = 0.333… Kita tulis

$$a=0,\bar{3}$$

Sekarang kita gunakan operasi setara biasa dan darabkan seluruh persamaan dengan sepuluh:

$$10a=3,\bar{3}$$

Di sebelah kanan, digit 3 berpindah ke tempat sa, manakala selepas titik perpuluhan masih ada tak terhingga banyaknya digit 3. Sekarang kita tolak a daripada persamaan ini, iaitu kita tolak 0.333…, dan dengan itu kita menghapuskan bahagian perpuluhan yang tak terhingga.

$$9a=3$$

Langkah ini mungkin agak rumit, jadi mari kita huraikan. Kita telah melakukan operasi berikut:

$$\begin{array}{ccccccc}& 3& .& 3& 3& 3& \dots \\ -& 0& .& 3& 3& 3& \dots \\ =& 3& .& 0& 0& 0& \dots \end{array}$$

Persamaan 9a = 3 di atas cuma perlu dibahagi dengan sembilan untuk memperoleh hasilnya:

$$a=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$

Mari kita cuba satu contoh lagi:

$$a=1.454545\dots =1,\overline{45}$$

Langkahnya sedikit berbeza. Dalam contoh sebelum ini, bahagian yang berulang terdiri daripada satu digit. Sebenarnya, panjangnya boleh dipilih sesuka hati kerana digit yang sama terus berulang, tetapi panjang satu paling memudahkan kita. Kali ini bahagian yang berulang terdiri daripada dua digit. Sekali lagi, kita boleh mengambil panjang enam, tetapi itu tidak membantu. Untuk menolak seluruh bahagian yang berulang, kali ini kita perlu mendarab dengan seratus:

$$100a=145,\overline{45}$$

Tolak satu a:

$$99a=144$$

Dan bahagikan dengan 99:

$$a=\frac{144}{99}=\frac{16}{11}$$

Jika anda membahagikan nombor-nombor ini dengan kalkulator, anda akan memperoleh 1.454545… Walau bagaimanapun, kebanyakan kalkulator membundarkan hasil, jadi paparannya mungkin sedikit berbeza.

Fakta menarik tentang 0.9999…

Sebagai fakta menarik, mari kita tukarkan perpuluhan jadi semula berikut kepada pecahan:

$$a=0,\bar{9}$$

Darabkan dengan sepuluh:

$$10a=9,\bar{9}$$

Tolak a:

$$9a=9$$

Bahagikan dengan sembilan:

$$a=1$$

Kita memperoleh satu. Maka, nombor 0.999… sama dengan nombor 1.

Pautan

• Wikipedia