Penukaran asas nombor

Artikel ini menerangkan cara menukar nombor daripada asas sepuluh kepada asas nombor yang lain, dan sebaliknya cara menukar nombor daripada asas lain kepada asas sepuluh.

Apakah asas nombor

Dalam kehidupan seharian, kita menggunakan asas sepuluh. Asas ini mempunyai sepuluh digit, iaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Ciri asas sepuluh ialah apabila suatu nombor, misalnya 57, didarab dengan sepuluh, nombor itu beralih satu nilai tempat. Kita memerlukan satu digit lagi untuk menulis nombor tersebut: 570.

Terdapat juga asas nombor yang lain. Contohnya, asas lapan hanya mengandungi digit 0, …, 7. Oleh itu, ungkapan 7 + 1 sama dengan nombor 10, kerana dalam asas lapan tiada digit 8. Asas enam belas pula mempunyai digit 0, 1, … 14, 15. Digit yang lebih besar daripada 9 kadangkala diganti dengan huruf, jadi asas enam belas mempunyai digit 0, …9, A, B, C, D, E, F.

Kita juga menemui asas nombor yang lain dalam kehidupan seharian, walaupun mungkin tidak menyedarinya. Contohnya, masa: saat dan minit dikira dalam asas enam puluh. Setiap ketika dalam sehari boleh ditulis sebagai nombor tiga digit dalam asas enam puluh. Digit pertama menyatakan jam, digit kedua minit dan digit ketiga saat. Jika kita menggunakan titik bertindih sebagai pemisah digit, kita memperoleh misalnya nombor 14:05:59. Perhatikan bahawa jika kita menambahkan satu saat pada masa ini, kita tidak memperoleh 14:05:60, tetapi 14:06:00, kerana 60 bukan digit yang sah dalam asas enam puluh.

Penukaran daripada asas sepuluh kepada asas dua

Katakan kita mempunyai nombor 70 dan kita mahu menukarnya kepada asas dua, iaitu sistem binari. Prinsipnya agak mudah. Kita bahagikan nombor itu dengan 2 berulang kali sehingga mendapat sifar, dan kita catatkan baki setiap pembahagian integer. Jika kita mahu menukar nombor kepada asas lain, misalnya asas enam belas, kita bahagikan dengan 16. Untuk asas enam, kita bahagikan dengan 6. Dalam praktik, langkah-langkahnya seperti berikut:

$$\begin{array}{rcl}70:2& =35& ⟶0(\text{baki})\\ 35:2& =17& ⟶1\\ 17:2& =8& ⟶1\\ 8:2& =4& ⟶0\\ 4:2& =2& ⟶0\\ 2:2& =1& ⟶0\\ 1:2& =0& ⟶1\end{array}$$

Baki-baki pembahagian membentuk nombor dalam asas dua. Namun, baki dibaca dari bawah ke atas, bukan dari atas ke bawah. Jadi, nombor 70 dalam asas dua ialah 1000110.

Penukaran daripada asas dua kepada asas sepuluh

Penukaran ke arah sebaliknya dilakukan seperti berikut. Ambil nombor 1100010 dan tukarkan nombor ini kepada asas sepuluh. Arah ini lebih mudah, kita hanya perlu mengira hasil tambah ini:

$${1100010}_2=1\cdot 2^6+1\cdot 2^5+0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+0\cdot 2^0$$

Setiap sebutan berbentuk x · 2ⁱ, dengan x ialah digit daripada nombor binari asal dan i bertambah satu demi satu dari kanan ke kiri. Oleh sebab kita menukar nombor 1100010, hasil tambahnya seperti berikut:

$${1100010}_2=\boxed{\text{1}}\cdot 2^6+\boxed{\text{1}}\cdot 2^5+\boxed{\text{0}}\cdot 2^4+\boxed{\text{0}}\cdot 2^3+\boxed{\text{0}}\cdot 2^2+\boxed{\text{1}}\cdot 2^1+\boxed{\text{0}}\cdot 2^0$$

Nombor 1100010 mempunyai tujuh digit, maka indeks kuasa bagi 2 ialah 6, 5, …, 1, 0. Selepas mengira kuasa dan mendarab, kita memperoleh:

$${1100010}_2=64+32+2=98.$$

Mengapakah kaedah ini berfungsi?

Kita boleh menunjukkannya dengan asas sepuluh. Apakah sebenarnya maksud digit dalam suatu nombor, misalnya 7384? Digit 4 menyatakan bilangan sa, digit 8 bilangan puluh, digit 3 bilangan ratus dan digit 7 bilangan ribu. Jadi, kita boleh menulis

$$7384=7\cdot 1000+3\cdot 100+8\cdot 10+4\cdot 1$$

Ungkapan ini boleh diubah supaya kita tidak menggunakan nombor 100, 10 dan 1, tetapi sentiasa suatu kuasa bagi 10. Oleh sebab 10⁰ = 1, 10¹ = 10 dan seterusnya, kita boleh menulis

$$7384=7\cdot {10}^3+3\cdot {10}^2+8\cdot {10}^1+4\cdot {10}^0$$

Setiap nombor dalam asas sepuluh boleh ditulis dengan cara yang sama. Setiap sebutan berbentuk x · 10ⁱ, dengan x ialah digit dari 0 hingga 9, iaitu sepuluh digit kesemuanya. Nilai i pula ialah integer bukan negatif yang menyatakan nilai tempat. Jika i = 0, sebutan itu menyatakan sa, dan jika i = 2, sebutan itu menyatakan ratus (kerana 10² = 100).

Sekarang, mari kita cuba menukar nombor 7348 daripada asas sepuluh kepada… asas sepuluh. Hal ini ada gunanya. Kita bahagikan 7348 dengan 10:

$$\begin{array}{rcl}7348:10& =734& ⟶8(\text{baki})\\ 734:10& =73& ⟶4\\ 73:10& =7& ⟶3\\ 7:10& =0& ⟶7\end{array}$$

Jika kita membaca baki dari bawah ke atas, kita memperoleh 7348, iaitu nombor asal yang kita cuba tukarkan kepada… asas yang sama.

Asas dua diterangkan dengan cara yang sama. Semua sebutan berbentuk x · 2ⁱ, dengan x ialah digit 0 atau 1. Nilai i sekali lagi menyatakan nilai tempat. Pembahagian berulang dengan 10 memberikan digit bagi setiap nilai tempat dalam asas sepuluh. Dengan cara yang sama, pembahagian berulang dengan 2 memberikan digit bagi setiap nilai tempat dalam asas dua.

Perhatikan juga bahawa jika kita membahagikan suatu nombor dengan 10, bakinya sentiasa terletak dalam selang [0, 9]. Jika kita membahagikan suatu nombor dengan 2, bakinya sama ada 0 atau 1.

Penukaran kepada asas yang lain

Kaedah penukaran daripada asas sepuluh kepada asas dua ini cukup umum sehingga boleh digunakan untuk asas yang lain juga. Jika kita mahu menukar nombor 185 kepada asas enam belas, kita hanya perlu membahagikannya dengan 16:

$$\begin{array}{rcl}185:16& =11& ⟶9(\text{baki})\\ 11:16& =0& ⟶11\end{array}$$

Dalam asas enam belas, nombor 185 berbentuk (11, 9). Untuk “digit” yang lebih besar daripada 9, biasanya digunakan huruf, iaitu 10 = A, 11 = B, 12 = C, … Oleh itu, kita boleh menulis bahawa nombor 185 dalam asas enam belas ialah B9.

Dengan cara yang sama, kita boleh menukar nombor B9 daripada asas enam belas kepada asas sepuluh.

$$B{9}_{16}=11\cdot {16}^1+9\cdot {16}^0=11\cdot 16+9=185$$