Hukum kalis tukar tertib

Hukum kalis tukar tertib ialah sifat bagi operasi seperti penambahan. Kita boleh perhatikan bahawa dalam penambahan, susunan tidak penting, jadi 3 + 5 sama dengan 5 + 3. Walau apa pun dua nombor nyata a + b yang kita tambahkan, hasilnya tetap sama jika kita menukar susunan nombor itu: b + a. Jika suatu operasi memenuhi syarat ini, kita katakan operasi itu kalis tukar tertib.

Contoh lain operasi yang kalis tukar tertib ialah pendaraban, kerana 2 · 6 memberikan hasil yang sama dengan 6 · 2, dan hal yang sama berlaku bagi sebarang dua nombor a, b:

$$a\cdot b=b\cdot a$$

Contoh operasi yang tidak kalis tukar tertib ialah penolakan, kerana 7 − 4 berbeza daripada 4 − 7. Dalam kes pertama kita memperoleh 3, dan dalam kes kedua kita memperoleh −3. Contoh lain ialah pembahagian, kerana 2 / 5 berbeza daripada 5 / 2.

Namun, berhati-hati dengan sifat operasi yang lain, misalnya tertib operasi (darab dahulu). Jika kita mempunyai ungkapan 1 + 2 · 3, kita tidak boleh mengatakan bahawa ungkapan itu sama dengan 2 + 1 · 3. Pendaraban perlu dilakukan sebelum penambahan. Tanda kurung dapat membantu: ungkapan 1 + 2 · 3 sama dengan 1 + (2 · 3). Jika kita mahu menggunakan hukum kalis tukar tertib bagi penambahan, kita boleh berbuat demikian, tetapi kita mesti membawa seluruh kurungan bersama: 1 + (2 · 3) sama dengan (2 · 3) + 1, dan ungkapan ini sama dengan (3 · 2) + 1 jika kita juga menggunakan hukum kalis tukar tertib bagi pendaraban.

Operasi set dan hukum kalis tukar tertib

Bukan hanya operasi nombor yang boleh kalis tukar tertib, tetapi juga, misalnya, operasi set. Contohnya, persilangan set A dan B ialah operasi yang kalis tukar tertib. Persilangan dua set ialah “unsur yang terdapat dalam kedua-dua set”, maka

$$A\cap B=B\cap A$$

Hal yang sama berlaku bagi kesatuan set A dan B, yang hasilnya ialah “unsur yang terdapat dalam sekurang-kurangnya satu daripada set itu”, maka:

$$A\cup B=B\cup A$$

Sebaliknya, beza set tidak kalis tukar tertib.

Vektor

Satu lagi operasi yang kalis tukar tertib boleh ditemui dalam operasi vektor, iaitu penambahan vektor. Secara umum, penambahan biasanya kalis tukar tertib. Dalam kes ini, jika kita mempunyai dua vektor $\overrightarrow{u}$ dan $\overrightarrow{v}$, maka

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$$

Rajah berikut menunjukkannya secara grafik:

Hasil tambah $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ ditunjukkan oleh “laluan atas”: kita mula-mula menggunakan vektor merah $\overrightarrow{u}$, kemudian vektor biru $\overrightarrow{v}$. Hasil tambah $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ ditunjukkan oleh “laluan bawah”: kita mula-mula mengikut vektor biru $\overrightarrow{v}$, kemudian vektor merah $\overrightarrow{u}$. Namun, hasilnya sama, kerana kedua-dua laluan berakhir di titik yang sama.

Anda boleh membayangkannya begini: anda bertolak dari suatu tempat, berjalan lima puluh meter ke utara, kemudian dua puluh meter ke barat. Jika anda mula-mula berjalan dua puluh meter ke barat, kemudian lima puluh meter ke utara, anda akan tiba di tempat yang sama. Jadi, berjalan dengan cara ini kalis tukar tertib.

Logik

Penghubung logik “dan” (konjungsi) dan “atau” (disjungsi) juga kalis tukar tertib. Maksudnya, pernyataan “nombor 5 ialah nombor ganjil dan nombor perdana” mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan “nombor 5 ialah nombor perdana dan nombor ganjil”. Begitu juga bagi disjungsi: “nombor 6 ialah nombor perdana atau nombor genap” mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan “nombor 6 ialah nombor genap atau nombor perdana”.

Sebaliknya, implikasi tidak kalis tukar tertib. Pernyataan “jika saya menang cabutan bertuah, maka saya akan menjadi kaya” tidak sama dengan “jika saya menjadi kaya, maka saya akan menang cabutan bertuah”.