Infiniti

Infiniti ialah konsep abstrak yang sebenarnya tidak dapat dibayangkan. Infiniti tidak mempunyai penghujung, dan itulah maksud istilah “tak terhingga”. Infiniti secara umum juga tidak mempunyai permulaan (namun kita boleh mengkhususkannya, misalnya sinar juga tak terhingga panjangnya, tetapi mempunyai titik permulaan). Infiniti biasanya ditulis dengan simbol yang kelihatan seperti “angka 8 terbaring”, iaitu ∞.

Mengira dengan infiniti

Infiniti agak serupa dengan sifar. Sifar juga istimewa dalam banyak hal, dan sifar mempunyai peraturan khasnya sendiri. Contohnya, anda tidak boleh membahagi dengan sifar, dan hal ini mungkin diketahui oleh setiap kanak-kanak. (Sudahkah anda mendengar jenaka ini? Apakah alasan terbaik apabila anda tidak menyiapkan kerja rumah matematik? “Cikgu, saya tersilap membahagi dengan sifar, lalu buku latihan saya terbakar…” ;o))

Sama seperti sebarang nombor darab sifar ialah sifar, sebarang nombor darab infiniti atau sebarang nombor tambah infiniti ialah infiniti. Jika anda menolak nombor sebesar mana pun daripada infiniti, hasilnya tetap infiniti. Begitu juga jika anda cuba membahagi infiniti. Infiniti terlalu besar sehingga walaupun anda menolak berjuta-juta setiap saat, yang tinggal tetap infiniti. Kadangkala hal ini sukar difahami. Contohnya, ambil persamaan mudah ini: ∞ + 1 = ∞. Adakah persamaan ini benar atau tidak?

Logik kita mengatakan bahawa sebelah kiri persamaan lebih besar: jika kita menambahkan 1 kepada infiniti, keseluruhan ungkapan itu mesti lebih besar daripada infiniti sahaja. Belum tentu :-). Seperti yang telah disebut, infiniti tambah apa-apa sahaja ialah infiniti. Jadi, infiniti tambah satu ialah infiniti, dan infiniti sama dengan infiniti. Persamaan itu benar.

Kita juga boleh menggunakan cara lain, iaitu had. Ambil pecahan 1/x dan kira had sebelah kanan apabila x→0⁺ (dengan andaian buku latihan kita belum terbakar). Had ini sama dengan infiniti. Jika anda menambahkan 1 kepada ungkapan ini, anda memperoleh ungkapan (1+x)/x, dan hadnya apabila x→0⁺ juga infiniti.

Keadaan menjadi lebih menarik apabila kita menggabungkan infiniti dengan lebih banyak cara. Contohnya, berapakah nilai infiniti tolak infiniti? Logik kita mengatakan bahawa kita menolak dua nombor yang sama besar, jadi hasilnya sifar. Namun, kita juga telah menyatakan bahawa jika kita menolak sebarang nombor daripada infiniti, hasilnya tetap infiniti. Sebaliknya, jika kita menolak infiniti daripada sebarang nombor, hasilnya negatif infiniti. Jadi, apakah jawapannya? Secara teori, semua hasil ini mungkin. Matematik menyatakan bahawa ungkapan ∞ −∞ tidak sama dengan sebarang nilai tertentu. Ungkapan ini ialah bentuk tak tertakrif atau bentuk tak tentu. Keadaannya serupa dengan cubaan membahagi dengan sifar: hal itu tidak bermakna. Jika anda menemui bentuk tak tentu seperti ini, anda perlu mengubah ungkapan itu dengan suatu cara (bagi sesetengah jenis bentuk tak tentu, kita boleh menggunakan, misalnya, petua L'Hôpital [dibaca “lopital”]).

Bentuk tak tertakrif dan bentuk tak tentu yang lain:

• ∞ − ∞
• ∞/∞
• 0/0
• 0 · ∞
• 0⁰
• ∞⁰
• 1^∞

Walau bagaimanapun, peraturan tanda yang asas tetap berlaku, misalnya −1 · ∞ sama dengan negatif infiniti.

Mahu pening kepala?

Kalau begitu, cubalah teori set dan tentukan set manakah yang lebih besar. Contohnya, manakah yang lebih besar: set nombor genap atau set nombor ganjil? Nombor genap atau nombor asli? Nombor asli atau integer? Nombor genap atau integer? Nombor asli atau nombor nisbah? Jawapannya, semua set ini sama besar. Walaupun hal ini mungkin kelihatan pelik (tentu integer lebih banyak daripada nombor ganjil!), semuanya ialah set yang sama besar. Sebaliknya, set nombor nyata lebih besar daripada semua set tersebut. Sungguh memeningkan ;-)