Selang

Selang banyak digunakan dalam matematik dan terdapat dalam pelbagai takrif. Selang ialah set titik yang dibatasi oleh dua titik hujung. Kita juga membezakan selang terbuka dan selang tertutup.

Penerangan asas

Selang juga digunakan dalam pertuturan seharian, misalnya “kerana warna mata yang salah, anda boleh didenda oleh pihak berkuasa dalam julat sepuluh ribu hingga dua puluh ribu ringgit”. Contoh ini menggunakan perkataan “julat”, tetapi dari segi matematik, ini ialah selang. Namun, timbul beberapa soalan yang mengelirukan: bolehkah anda didenda tepat sepuluh ribu ringgit, atau adakah nilai hujung julat itu tidak termasuk? Sehalus manakah denda itu boleh dipilih? Bolehkah denda itu RM18 541.97? Atau adakah denda hanya boleh dinaikkan setiap seratus ringgit, iaitu sama ada RM18 500 atau RM18 600?

Semua soalan ini diselesaikan oleh tatatanda matematik. Dalam tatatanda ini, kita mesti menyatakan dua perkara penting: set yang kita gunakan (dalam konteks contoh ini: ratus? ribu? ringgit?) dan sama ada titik hujung termasuk dalam selang (bolehkah denda tepat sepuluh ribu atau dua puluh ribu?).

Berita baiknya, dalam kebanyakan kes dalam matematik, selang menggunakan set nombor nyata. Jadi, jika anda menemui selang tanpa set yang dinyatakan, selang itu pasti merujuk kepada nombor nyata.

Set asas sudah kita ketahui. Sekarang, bagaimanakah kita menandakan sama ada titik hujung termasuk? Selang ditulis menggunakan tanda kurung. Tanda kurung biasa ( ) menunjukkan bahawa titik hujung itu tidak termasuk dalam selang, manakala kurungan siku [ ] menunjukkan bahawa titik hujung itu termasuk. Hal ini dipanggil keterbukaan dan ketertutupan. Jika titik hujung termasuk dalam selang, selang itu tertutup. Jika tidak termasuk, selang itu terbuka.

Contoh

Berikut ialah beberapa contoh (semuanya dalam set nombor nyata, kecuali dinyatakan sebaliknya):

• [1, 2]   Selang tertutup dari satu hingga dua. Selang ini mengandungi semua nombor nyata antara 1 dan 2, termasuk 1 dan 2.
• (1, 2)   Selang terbuka dari satu hingga dua. Selang ini mengandungi semua nombor nyata antara 1 dan 2, tetapi nombor 1 dan 2 sendiri tidak termasuk.
• [0, 1)   Selang ini tertutup di kiri dan terbuka di kanan. Selang ini mengandungi semua nombor antara 0 dan 1, termasuk 0 sendiri, tetapi 1 tidak termasuk.
• (p, q]   Selang ini terbuka di kiri dan tertutup di kanan. Selang ini mengandungi semua nombor antara p dan q, termasuk nombor q tetapi tidak termasuk nombor p.
• [0, ∞)   Selang tertutup di kiri dan terbuka di kanan. Jika selang mengandungi infiniti, gunakan selang terbuka pada bahagian itu. Infiniti tidak mempunyai titik hujung yang terhingga, jadi selang tertutup tidak bermakna di situ.
• [1, 5] ⊂ ℕ   Di sini ada perubahan: kita tidak lagi menggunakan set nombor nyata, tetapi set nombor asli. Selang ini tertutup pada kedua-dua belah, jadi selang ini mengandungi lima nombor kesemuanya: 1, 2, 3, 4 dan 5.
• (1, 5] ⊂ ℕ   Kes yang sama seperti tadi, tetapi selang ini terbuka di kiri, jadi 1 tidak termasuk dalam selang. Semua unsur selang ini ialah 2, 3, 4 dan 5.

Selang sebagai set

Seperti yang kita lihat, selang tidak lain ialah subset bagi set tempat selang itu ditakrifkan. Oleh itu, kita boleh menganggap selang sebagai set dan melakukan operasi set ke atasnya. Contohnya, kesatuan selang boleh kelihatan seperti berikut:

$$[0,5]\cup [5,10]=[0,10]$$

Berhati-hati dengan selang terbuka. Bagi selang terbuka, kesamaan itu tidak benar, kerana 5 tidak termasuk dalam selang yang terhasil:

$$(0,5)\cup (5,10)\ne (0,10)$$

Tatatanda yang betul, misalnya, seperti berikut:

$$(0,5)\cup (5,10)=(0,10)-\{5\}$$

Bilakah selang terbuka digunakan

Anda perlu memahami perbezaan antara selang terbuka dengan selang tertutup. Contoh biasa penggunaan selang terbuka ialah domain bagi logaritma. Logaritma boleh digunakan dengan sebarang nombor nyata positif. Maksudnya, logaritma tidak boleh digunakan dengan nombor negatif, dan juga tidak dengan sifar. Bagaimanakah kita menulisnya?

$$D_{\ln }=(0,\mathrm{\infty })$$

Tatatanda ini menyatakan bahawa logaritma boleh digunakan dengan nombor positif yang sekecil mana pun, tetapi tidak dengan sifar. Jadi, misalnya nombor 1 terletak dalam selang ini, begitu juga 0.001, 0.0000000001 atau 10⁻⁶⁶⁶. Namun, sifar tidak terletak dalam selang ini. Dengan cara yang sama, kita boleh menulis domain bagi fungsi dengan pecahan, misalnya fungsi mudah f(x) = 1/x.

$$D_f=(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,\mathrm{\infty })$$

Tatatanda ini menghuraikan set nombor nyata tanpa sifar. Dalam kedua-dua selang, sifar bukan titik hujung yang tertutup, jadi sifar juga tidak terdapat dalam kesatuannya. Walau bagaimanapun, kita boleh menggunakan nombor positif yang sekecil mana pun atau nombor negatif yang sebesar mana pun. (Bagi nombor negatif, -0.001 lebih besar daripada -0.1, sebab itu kita katakan “sebesar mana pun” dan bukan “sekecil mana pun”.)

Tafsiran geometri

Selang biasanya dilukis pada garis nombor sebagai tembereng garis. Titik hujungnya dilukis mengikut sama ada selang itu tertutup atau terbuka. Jika selang tertutup, bulatan yang mewakili titik hujung diwarnakan (bulatan penuh). Jika selang terbuka, bulatan itu tidak diwarnakan dan hanya garis luarnya dilukis, iaitu hanya bulatan kosong.

Rajah berikut menunjukkan tiga selang, semuanya dari dua hingga enam, tetapi berbeza dari segi ketertutupan hujungnya. Mengikut urutan, selang yang ditunjukkan ialah: [2, 6], (2, 6], (2, 6).