Paradoks dalam teori set

Teori set naif mengandungi beberapa paradoks yang menarik. Paradoks inilah yang akhirnya membawa kepada teori set yang lebih terperinci. Paradoks ini sering bergantung pada hakikat bahawa dalam teori set naif yang klasik, suatu set boleh mengandungi dirinya sendiri sebagai unsur.

Paradoks Russell

Salah satu paradoks yang paling terkenal ialah paradoks Russell. Paradoks ini boleh dirumuskan seperti berikut: katakan set N mengandungi semua set yang tidak mengandungi dirinya sendiri sebagai unsur, dan hanya set tersebut. Jadi, jika suatu set mengandungi dirinya sendiri sebagai unsur, set itu tidak tergolong dalam set N. Jika set itu tidak mengandungi dirinya sendiri, set itu tergolong dalam set N.

Persoalannya: adakah set N mengandungi set N, iaitu dirinya sendiri, sebagai unsur?

Mari kita teliti kedua-dua kes. Jika set N tidak mengandungi N, maka set itu tidak mengandungi dirinya sendiri, jadi set itu sepatutnya terdapat dalam set N. Maksudnya, N ∈ N sepatutnya benar.

Sebaliknya, jika set N mengandungi unsur N, maka N ∈ N sepatutnya tidak benar, kerana set N hanya mengandungi set yang tidak mengandungi dirinya sendiri sebagai unsur.

Paradoksnya ialah kita sentiasa melanggar salah satu syarat. Jika N ∈ N, hal ini bercanggah dengan takrif set N (set ini hanya mengandungi set yang tidak mengandungi dirinya sendiri, sedangkan di sini N jelas mengandungi N sebagai unsur). Jika N ∈ N tidak benar, kita juga melanggar takrif N.

Oleh itu, set seperti ini tidak dapat dibina, dan hal ini tidak sepatutnya berlaku dalam teori set yang betul.

Paradoks Russell juga mempunyai beberapa tafsiran dalam kehidupan seharian. Salah satunya ialah paradoks tukang gunting rambut. Di sebuah bandar terdapat seorang tukang gunting rambut yang mencukur semua orang yang tidak mencukur diri mereka sendiri, dan hanya orang tersebut. Persoalannya: adakah tukang gunting rambut itu mencukur dirinya sendiri?

Paradoks Cantor

Paradoks seterusnya ialah paradoks Cantor. Paradoks ini bergantung pada hakikat bahawa bagi sebarang set M, set kuasanya P(M) (set semua subset bagi M) sentiasa mempunyai kekardinalan yang lebih tinggi, iaitu lebih besar. Bagi set terhingga, hal ini jelas sekali pandang, dan bagi set tak terhingga, hal ini mudah dibuktikan. Pernyataan ini dikenali sebagai teorem Cantor. Rumusan tepat dan buktinya boleh didapati di Wikipedia.

Paradoks ini sendiri lebih mudah daripada paradoks sebelumnya. Bayangkan set semua set, dan namakan set ini M. Jadi, bagi sebarang set N, N ∈ M. Namun, menurut teorem Cantor, kekardinalan set kuasa P(M) lebih besar daripada kekardinalan M. Hal ini bercanggah dengan hakikat bahawa M mengandungi semua set: jika set P(M) lebih besar daripada M, set itu semestinya mengandungi unsur yang tidak terdapat dalam set M.