Kesatuan, persilangan, beza dan pelengkap set

Kita boleh melakukan pelbagai operasi set ke atas set. Operasi yang paling asas ialah kesatuan, persilangan, beza dan pelengkap.

Kesatuan set

Kesatuan set ditandakan dengan simbol ∪. Jadi, kesatuan set A dan B ditulis seperti biasa sebagai A ∪ B. Kesatuan set A dan B menghasilkan set baharu yang mengandungi semua unsur set A dan juga semua unsur set B. Takrifnya:

$$A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}$$

Contoh: Ambil dua set A = {1, 3, 5, 7} dan B = {2, 4, 6}. Kesatuannya ialah set A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Set yang terhasil mengandungi unsur kedua-dua set.

Contoh lain: A = {1, 2, 3} dan B = {2, 3, 4}. Kesatuannya ialah A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. Unsur 2 dan 3 tidak muncul dua kali dalam set yang terhasil, kerana suatu set tidak mengandungi unsur yang sama lebih daripada sekali.

Sifat lain:

• A ∪ A = A: kesatuan dua set yang sama ialah set itu juga.
• A ∪ B = B ∪ A: kesatuan mematuhi hukum kalis tukar tertib, iaitu susunan set tidak penting.
• A ∪ ∅ = A: set kosong tidak mengandungi sebarang unsur, jadi tiada unsur yang ditambahkan.

Persilangan set

Persilangan dua set A dan B menghasilkan set baharu yang mengandungi unsur sepunya bagi kedua-dua set. Dengan lebih tepat, set baharu itu mengandungi unsur yang tergolong dalam A dan juga tergolong dalam B. Persilangan ditandakan dengan simbol ∩. Takrifnya:

$$A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$$

Contoh: A = {1, 3, 5, 7, 9} dan B = {4, 5, 6, 7}. Persilangannya ialah A ∩ B = {5, 7}. Contoh lain: A = {a, b, c, d, e} dan B = {f, g, h, i, j}. Persilangannya ialah A ∩ B = ∅. Kedua-dua set ini tidak mempunyai unsur sepunya, jadi persilangannya ialah set kosong.

Sifat lain:

• A ∩ A = A: persilangan dua set yang sama ialah set itu juga.
• A ∩ B = B ∩ A: persilangan mematuhi hukum kalis tukar tertib, iaitu susunan set tidak penting.
• A ∩ ∅ = ∅: set kosong tidak mengandungi sebarang unsur, jadi set itu pasti tidak mempunyai unsur sepunya dengan set A.

Beza set

Beza set ditandakan dengan simbol tolak biasa − atau, lebih baik, dengan garis condong ∖. Beza dua set A dan B ialah set yang mengandungi semua unsur A yang tidak terdapat dalam B. Ringkasnya, anda lihat unsur yang dikongsi oleh set pertama dengan set kedua, kemudian buang unsur tersebut. Takrifnya:

$$A\setminus B=\{x\in A|x\notin B\}$$

Contoh: A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {4, 5, 6, 7, 8}. Bezanya ialah A ∖ B = {1, 2, 3}. Inilah unsur yang tinggal apabila kita membuang daripada set A semua unsur yang terdapat dalam set B. Contoh lain: A = {a, b, d, e}. Bezanya A ∖ A = ∅.

Sifat lain:

• A ∖ A = ∅: sama seperti menolak dua nombor yang sama memberikan sifar (misalnya 5 − 5 = 0), menolak dua set yang sama memberikan set kosong.
• A ∖ ∅ = A: set kosong tidak mengandungi sebarang unsur, jadi tiada unsur yang dibuang daripada set A.

Pelengkap set

Pelengkap bagi set A ditulis dengan pelbagai cara, tetapi yang paling biasa ialah dengan tanda petik A' atau dengan garis atas $\bar{A}$. Untuk memudahkan, kita akan menggunakan tanda petik. Untuk mencari pelengkap bagi set A, kita perlu mengetahui set semesta tempat pelengkap itu dicari. Pelengkap mewakili semua unsur yang tidak terdapat dalam set A, jadi pelengkap ialah sejenis lawan bagi set A.

Jika set semesta ialah M = {1, 2, 3, …, 9, 10}, maka pelengkap bagi set A = {2, 4, 6, 8, 10} dalam M ialah set A' = {1, 3, 5, 7, 9}. Set ini mengandungi semua unsur M yang tiada dalam A. Kita boleh mengatakan bahawa A' dalam M sama dengan M ∖ A.

Jika set semesta ialah set integer, maka pelengkap bagi set nombor genap ialah set nombor ganjil. Pelengkap bagi set A = {1, 2, 3, 4} ialah set A' = {…, −3, −2, −1, 0, 5, 6, 7, …}.

Jika pelengkap diambil dua kali, kita memperoleh semula set asal. Contohnya, dalam set integer, pelengkap bagi nombor genap ialah nombor ganjil, dan pelengkap bagi nombor ganjil ialah nombor genap semula. Oleh itu, A = A'' (pelengkap bagi pelengkap A).