✖

Nombor algebra

Nombor yang merupakan punca bagi suatu polinomial dengan pekali integer dipanggil nombor algebra. Apakah maksudnya secara praktikal? Kita boleh mengambil sebarang nombor dan bermain sejenis permainan matematik dengannya. Matlamat permainan ini ialah mengambil suatu nombor x dan mengurangkannya kepada sifar. Namun, kita hanya boleh menggunakan operasi penambahan, penolakan, pendaraban dan kuasa, dan dalam operasi itu kita hanya boleh menggunakan integer. Contoh-contoh berikut akan menjelaskannya.

Sebagai permulaan, ambil nombor 42. Bagaimanakah kita mengubahnya supaya memperoleh sifar? Kita boleh menolak integer 42 daripadanya dan memperoleh sifar (mendarab dengan sifar tidak dibenarkan):

42−42=0

Oleh sebab kita berjaya mengurangkan nombor 42 kepada sifar, nombor 42 ialah nombor algebra. Itu agak remeh. Bagaimana pula dengan pecahan, contohnya 73? Oleh sebab kita hanya boleh menggunakan integer, kita tidak boleh menolak 73 daripada pecahan ini untuk memperoleh sifar. Kita perlu mencari cara lain. Mula-mula, darabkan pecahan itu dengan tiga:

3⋅73=3⋅73=7

Kita memperoleh integer, dan integer sudah boleh kita ubah menjadi sifar: tolak tujuh. Jadi, kita boleh menulis

3⋅73−7=0

dan mengatakan bahawa pecahan tujuh per tiga juga nombor algebra. Sekarang ambil nombor yang lebih rumit, iaitu punca kuasa dua bagi dua: 2. Pendaraban atau penambahan tidak membantu, jadi kita perlu menghapuskan punca kuasa dahulu. Kita kuasa duakan ungkapan itu:

(2)2=2

Kita memperoleh integer yang boleh kita ubah menjadi sifar, iaitu tolak dua:

(2)2−2=0

Punca kuasa dua bagi dua, yang merupakan nombor bukan nisbah, juga nombor algebra. Setakat ini, nampaknya setiap nombor yang kita cuba ialah nombor algebra. Bagaimana pula dengan nombor Euler e? Nombor ini juga bukan nisbah, jadi perwakilan perpuluhannya tak terhingga dan tidak berulang, sama seperti punca kuasa dua bagi dua. Nilai hampirannya ialah 2.71. Namun, berbeza dengan punca kuasa dua bagi dua, tiada cara untuk mengurangkannya kepada sifar dengan operasi yang kita benarkan. Sama ada kita menambah, mendarab atau menaikkan nombor Euler kepada suatu kuasa, kita sentiasa memperoleh satu lagi nombor bukan nisbah. Oleh itu, nombor Euler bukan nombor algebra. Hura!

Begitu juga, pi (3.14) bukan nombor algebra.

Nombor yang bukan nombor algebra dipanggil nombor transenden.

Takrif yang lebih tepat

Jadi, bagi setiap nombor algebra mesti wujud suatu polinomial dengan pekali integer yang puncanya ialah nombor algebra itu. Punca polinomial ialah nombor yang menjadikan nilai polinomial itu sifar. Jika kita kembali kepada contoh di atas, bagi nombor 42 kita memperoleh persamaan

x−42=0

Punca polinomial x − 42 ialah x = 42, maka 42 ialah nombor algebra. Bagi nombor nisbah 73, persamaannya ialah

3x−7=0

kerana punca polinomial 3x − 7 ialah x=73. Akhir sekali, bagi punca kuasa dua bagi dua kita memperoleh

x2−2=0

kerana punca polinomial x2 − 2 ialah punca kuasa dua bagi dua. Bagi nombor Euler atau pi, kita tidak dapat membina persamaan atau polinomial seperti itu kerana kedua-duanya ialah nombor transenden, bukan nombor algebra.

Contoh nombor algebra

  • Setiap integer ialah nombor algebra.
  • Setiap nombor nisbah (pecahan) ialah nombor algebra.
  • Nombor bukan nisbah lebih rumit. Seperti yang kita lihat, sesetengah nombor bukan nisbah ialah nombor algebra, contohnya punca kuasa dua bagi dua, tetapi sesetengahnya bukan, contohnya nombor Euler.
  • Setiap punca kuasa ke-n bagi suatu integer ialah nombor algebra.
  • Nisbah keemasan ialah nombor algebra.

Pautan dan sumber