Penyempurnaan kuasa dua

Dengan kaedah penyempurnaan kuasa dua, kita boleh mengungkapkan fungsi kuadratik ax² + bx + c dalam bentuk (x + m)² + n.

Algoritma penyempurnaan kuasa dua

Algoritma ini menggunakan identiti kembangan yang biasa:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$$

Langkah-langkahnya seperti berikut. Buat sementara waktu, andaikan a = 1. Katakan kita mempunyai fungsi kuadratik f(x) = x² + 6x + 1 dan kita mahu mengungkapkannya dalam bentuk (x + m)² + n. Pertama, kita tentukan nilai dalam kurungan pertama: (x + m)². Apakah nombor yang perlu digantikan untuk m? Menurut identiti tadi, (x + m)² = x² + 2mx + m². Fungsi f mempunyai x², dan bahagian itu sudah sepadan. Namun, sebutan linearnya ialah 6x. Apakah nilai m yang perlu dipilih supaya 6x = 2mx? Jelas sekali m = b/2 = 6/2 = 3. Jadi, m sentiasa bernilai separuh daripada nombor b dalam fungsi kuadratik itu.

Kita memperoleh bentuk (x + 3)² + n. Yang tinggal ialah menentukan nombor n. Kita sudah tahu bahawa (x + m)² = x² + 2mx + m². Bahagian x² + 2mx memang kita perlukan, tetapi ungkapan m² ialah lebihan, kerana fungsi f tidak mempunyai sebutan yang sepadan. Oleh itu, kita tolak m² daripada hasil setakat ini. Kita memperoleh bentuk (x + m)² − m², yang selepas dikembangkan menjadi x² + 2mx + m² − m². Selepas penolakan, yang tinggal hanya x² + 2mx.

Namun, fungsi f juga mempunyai sebutan pemalar c. Sebutan ini kita tambahkan sahaja. Kita memperoleh bentuk (x + m)² − m² + c, yang selepas dikembangkan menjadi x² + 2mx + m² − m² + c, dan selepas dipermudahkan menjadi x² + 2mx + c. Oleh sebab m = b/2, ungkapan ini sama dengan x² + bx + c. Jadi, apabila ungkapan (x + m)² − m² + c dikembangkan, kita memperoleh semula fungsi asal, maka pengiraan kita betul. (Ingat sekali lagi bahawa a = 1, jadi tiada apa-apa yang tertinggal.)

Bagi fungsi contoh f, kita memperoleh ungkapan dalam bentuk kuasa dua sempurna (x + 3)² − 9 + 1 = (x + 3)² − 8. Kita boleh menyemaknya dengan mengembangkan semula:

$$\begin{array}{rcl}(x+3{)}^2-8& =& x^2+6x+9-8\\ & =& x^2+6x+1\end{array}$$

Kaedah penyempurnaan kuasa dua digunakan, misalnya, apabila kita mahu melakar graf fungsi kuadratik.

Apabila a ≠ 1

Jika fungsi yang kita ada tidak memenuhi a = 1, kita faktorkan nombor a keluar daripada seluruh fungsi, kemudian kita teruskan seperti yang sudah kita ketahui. Contoh:

$$2x^2+16x-12=0$$

Kita faktorkan 2 keluar daripada seluruh fungsi:

$$2\cdot (x^2+8x-6)=0$$

Fungsi dalam kurungan sudah boleh kita ungkapkan dalam bentuk kuasa dua sempurna.

$$x^2+8x-6=(x+4{)}^2-16-6=(x+4{)}^2-22$$

Kita gantikan hasil ini ke dalam persamaan sebelumnya dan memperoleh:

$$2\cdot (x^2+8x-6)=2((x+4{)}^2-22)=2(x+4{)}^2-44$$