Asal usul nombor Euler

Nombor Euler ialah salah satu pemalar matematik yang paling terkenal, bersama-sama nombor pi — π. Mari kita lihat bagaimana nombor ini ditemui dan apakah maknanya.

Pada abad ketujuh belas, ahli matematik Switzerland Jacob Bernoulli berminat dengan faedah kompaun. Bayangkan kita mempunyai RM1 dan kita menyimpannya di bank yang menawarkan faedah 100% setahun. Tawaran seperti ini memang gila bagi sebuah bank, tetapi apa yang tidak sanggup dilakukannya demi matematik? Berapakah wang dalam akaun kita tepat selepas setahun? Kita akan mempunyai RM2.

Bagaimanakah keadaannya berubah jika bank menawarkan faedah 50% yang dikompaunkan setiap setengah tahun? Adakah tawaran ini lebih menguntungkan kita atau kurang?

Selepas setengah tahun pertama, wang kita bertambah separuh. “Bertambah separuh” ditulis dalam matematik sebagai $x\cdot (1+\frac{1}{2})$. Kita gantikan x dengan simpanan kita, iaitu RM1, dan kita kira

$$1\cdot (1+\frac{1}{2})=1.5$$

Selepas setengah tahun, akaun kita mengandungi RM1.50. Selepas setengah tahun kedua, wang kita bertambah separuh lagi. Kita gunakan rumus yang sama, tetapi kali ini kita gantikan x dengan baki baharu kita, iaitu 1.5:

$$1.5\cdot (1+\frac{1}{2})=2.25$$

Jadi, selepas setahun akaun kita mengandungi RM2.25. Faedah yang lebih rendah tetapi dikompaunkan lebih kerap ternyata menguntungkan kita.

Faedah dikompaunkan setiap bulan

Bagaimana jika bank mengkompaunkan faedah setiap bulan, tetapi kadar faedahnya turun kepada satu perdua belas daripada kadar asal? Wah, kali ini pengiraannya lebih banyak. Berapakah baki kita selepas bulan pertama? Wang kita bertambah “satu perdua belas”, yang kita tulis sebagai $x\cdot (1+\frac{1}{12})$. Jadi, selepas bulan pertama kita mempunyai:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})=1.0833333\dots$$

Selepas bulan kedua, kita mempunyai

$$1.0833333\cdot (1+\frac{1}{12})=1.17361111\dots$$

Perhatikan bahawa sebagai ganti nombor 1.0833333, kita boleh menulis $1\cdot (1+\frac{1}{12})$ kerana kita tahu bahawa kedua-duanya sama:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=1.17361111\dots$$

Selepas bulan ketiga, akaun kita mengandungi:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=1.27141203$$

Seperti yang anda lihat, pengiraan kita mengikut suatu pola. Ungkapan dalam kurungan berulang sebanyak bilangan bulan yang sedang kita kira. Ungkapan tadi boleh dipermudahkan: sebagai ganti tiga kurungan yang sama, kita tulis satu kurungan dan naikkannya kepada kuasa tiga:

$$1\cdot {(1+\frac{1}{12})}^3=1.27141203$$

Pendaraban dengan satu di hadapan juga tidak perlu, jadi kita buang:

$${(1+\frac{1}{12})}^3=1.27141203$$

Jika kita mahu mengira baki selepas dua belas bulan, kita hanya perlu menggantikan 3 dalam indeks dengan 12:

$${(1+\frac{1}{12})}^{12}=2.6130352$$

Selepas dua belas bulan, akaun kita mengandungi lebih kurang RM2.6130352. Tidak buruk! Hasil ini jauh lebih baik daripada faedah 100% setahun.

Faedah kompaun selanjar

Kita tidak perlu berhenti pada bulan. Berapakah wang kita jika faedah dikompaunkan setiap minggu dengan kadar $\frac{1}{52}$ daripada kadar asal? Kita sudah tahu rumusnya, jadi kita hanya perlu menggantikan nilainya:

$${(1+\frac{1}{52})}^{52}=2.6925969$$

Faedah harian?

$${(1+\frac{1}{365})}^{365}=2.7145674$$

Faedah setiap jam? (Setahun ada 8760 jam.)

$${(1+\frac{1}{8760})}^{8760}=2.718126$$

Kita lihat bahawa setiap kali kita mengambil kadar faedah yang lebih rendah dan mengkompaunkannya lebih kerap, wang dalam akaun pada akhirnya bertambah sedikit. Namun, pertambahannya tidak lagi besar. Kita boleh terus begini hingga ketakterhinggaan. Sebenarnya, itu bukan idea yang buruk — kita boleh mengkompaunkan faedah setiap minit, setiap saat, setiap milisaat, setiap nanosaat… sehingga faedah dikompaunkan secara berterusan. Kita akan mempunyai faedah yang sangat kecil yang dikompaunkan ke atas baki pada setiap ketika. Berapakah wang dalam akaun kita selepas setahun dalam keadaan ini?

Kembali kepada nombor Euler

Inilah soalan yang cuba dijawab oleh Jacob Bernoulli. Malangnya, beliau tidak berjaya. Soalan ini hanya dapat dijawab pada abad ke-18 oleh ahli matematik terkenal Leonhard Euler. Euler mengira bahawa selepas setahun akaun kita akan mengandungi

$$2.71828182845904523536028747135\dots$$

ringgit. Anda lihat bahawa jumlah ini tidak jauh lebih besar daripada jumlah apabila faedah dikreditkan setiap jam. Oleh sebab baki ini, iaitu nombor ini, ternyata sangat penting dalam pelbagai bidang matematik, nombor ini sehingga hari ini dipanggil nombor Euler dan ditandakan dengan huruf e. Nombor Euler ialah nombor bukan nisbah, iaitu nombor yang perwakilan perpuluhannya tak terhingga dan tidak berulang, sama seperti nombor π. Oleh itu, anda tidak akan pernah melihat nombor ini secara lengkap. Walaupun begitu, nombor Euler boleh ditakrifkan dengan tepat menggunakan had fungsi:

$$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$$

Sumber dan pautan

• Episod yang sangat baik daripada saluran berbahasa Inggeris Numberphile tentang nombor Euler.
• Cara mengira faedah pinjaman perumahan