Nombor perdana

Nombor perdana ialah nombor yang hanya boleh dibahagi tepat dengan 1 dan dengan nombor itu sendiri. Sifat nombor perdana banyak digunakan, misalnya dalam kriptografi.

Takrif dan contoh

Nombor perdana ialah nombor asli yang hanya boleh dibahagi tepat dengan 1 dan dengan dirinya sendiri. Nombor 1 sendiri bukan nombor perdana. Nombor perdana yang terkecil ialah 2, kerana 2 boleh dibahagi tepat dengan 1 dan dengan 2. Nombor 2 juga satu-satunya nombor perdana yang genap. Semua nombor perdana yang lain ialah nombor ganjil, kerana setiap nombor genap yang lain boleh dibahagi tepat bukan sahaja dengan 1 dan dengan dirinya sendiri, tetapi juga dengan 2.

Beberapa nombor perdana yang pertama ialah: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271…

Nombor perdana berkait rapat dengan teorem asas aritmetik. Teorem ini menyatakan bahawa setiap integer yang lebih besar daripada 1 boleh diungkapkan sebagai hasil darab nombor perdana.

Uji sama ada suatu nombor ialah nombor perdana

Sifat nombor perdana

• Terdapat tak terhingga banyaknya nombor perdana. Buktinya terdapat dalam artikel tentang bukti secara percanggahan.
• Bagi setiap integer z>1, terdapat sekurang-kurangnya satu nombor perdana dalam selang (z, 2z). Contohnya, bagi z = 2 kita memperoleh selang (2, 4). Satu-satunya integer dalam selang ini ialah 3, dan 3 ialah nombor perdana. Bagi z = 5 pula kita memperoleh selang (5, 10), iaitu nombor 6, 7, 8, 9. Nombor 7 ialah nombor perdana. Hal yang sama berlaku bagi nilai z yang lebih besar.
• Nombor perdana Mersenne ialah nombor perdana yang kurang satu daripada suatu kuasa integer bagi 2. Oleh itu, nombor perdana Mersenne M berbentuk M = 2^z − 1, dengan z ialah suatu nombor asli. Contohnya, nombor perdana 3, kerana 2² − 1 = 3, atau 7, kerana 2³ − 1 = 7.
• Nombor perdana terbesar yang diketahui biasanya ialah nombor perdana Mersenne. Contohnya, pada 23 Ogos 2008, nombor perdana Mersenne M_43112609 ditemui. Subskripnya menyatakan indeks z. Jadi, nombor ini ialah 2^43112609 − 1, yang mempunyai 12 978 189 digit. Pada masa itu, nombor ini merupakan nombor perdana terbesar yang diketahui.

Jujukan tanpa nombor perdana

Kita boleh mencari jujukan terhingga nombor asli berturut-turut, sepanjang mana yang dikehendaki, yang tidak mengandungi sebarang nombor perdana. Jujukan seperti ini boleh berbentuk k!+2, k!+3, …, k!+k. Jujukan ini mengandungi k − 1 nombor gubahan berturut-turut (tanda seru ialah faktorial).

Contohnya, bagi k = 6 kita memperoleh lima nombor gubahan berturut-turut: 720 + 2, 720 + 3, 720 + 4, 720 + 5, 720 + 6. Nombor-nombor ini masing-masing boleh dibahagi tepat dengan 2, 3, 4, 5 dan 6. Hal ini kerana nombor 6! = 720 pasti boleh dibahagi tepat dengan semua nombor tersebut, sebab 720 ialah hasil darabnya: 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2. Jika 720 boleh dibahagi tepat dengan 3, maka 720 + 3 juga mesti boleh dibahagi tepat dengan 3. Hal yang sama berlaku bagi nombor yang lain.

Teorem kecil Fermat

Bagi setiap nombor perdana p dan setiap integer z, nombor z^p − z boleh dibahagi tepat dengan p.

Contohnya, ambil nombor perdana p = 3 dan integer z = 4. Kita kira nilai 4³ − 4, iaitu 60. Didapati bahawa 60/3 = 20, maka 3 membahagi 60 tanpa baki. Hal ini sepadan dengan teorem Fermat. Contoh lain: p = 7, z = 10. Kita kira hasil perantaraan 10⁷ − 10 = 9999990 dan bahagikan nombor ini dengan 7: 9999990/7 = 1428570. Sekali lagi, pembahagian ini tidak meninggalkan baki.

Persoalan yang belum terjawab

Banyak hipotesis terkenal tentang nombor perdana yang belum dapat dibuktikan atau disangkal (setakat tahun 2011). Dua yang paling terkenal ialah:

• Nombor perdana kembar yang tak terhingga banyaknya: nombor perdana kembar ialah pasangan nombor (z, z + 2) dengan kedua-dua nombor itu ialah nombor perdana, misalnya (3, 5) atau (29, 31). Persoalannya, adakah terdapat tak terhingga banyaknya pasangan nombor perdana kembar? Ramai menjangkakan jawapannya ya, tetapi buktinya belum ada.
• Hipotesis Riemann: Semua punca tak remeh fungsi zeta Riemann mempunyai bahagian nyata $\frac{1}{2}$. Hipotesis ini berkait dengan taburan nombor perdana dan merupakan salah satu daripada Masalah Hadiah Milenium. Sesiapa yang menyelesaikannya akan menerima hadiah sejuta dolar.