Mengapa 0.999… sama dengan 1
Nombor 0.999…, yang selepas titik perpuluhannya terdapat tak terhingga banyaknya digit 9, sama dengan satu. Bukan lebih kurang, bukan “hampir”, tetapi tepat. Kebanyakan orang tidak mempercayainya pada kali pertama, dan perdebatan tentang nombor yang satu ini antara perdebatan matematik yang paling kerap di internet. Kita akan melihat beberapa bukti, dan akhirnya kita akan memahami mengapa gerak hati kita terus membisikkan sebaliknya.
Seperti perpuluhan jadi semula yang lain, nombor ini juga boleh ditulis dengan garis di atas digit yang berulang:
Melalui satu pertiga
Kita bermula dengan pecahan yang tidak menyusahkan sesiapa pun. Jika kita membahagi satu dengan tiga, kita memperoleh perpuluhan jadi semula:
Sekarang kita darabkan kedua-dua belah persamaan dengan tiga. Di sebelah kiri, kita memperoleh
Di sebelah kanan, kita darabkan setiap digit 3 secara berasingan. Oleh sebab 3 · 3 = 9 dan tiada apa-apa yang perlu dibawa ke nilai tempat berikutnya, hasilnya ialah
Sebelah kiri kedua-dua persamaan sama, maka sebelah kanannya juga mesti sama: 1 = 0.999… Sesiapa yang menerima 0.333… sebagai satu pertiga tidak boleh menolak kesimpulan ini.
Melalui gandaan sepuluh
Kaedah ini sudah kita temui dalam artikel tentang nombor nisbah, yang menggunakan langkah yang sama untuk menukar perpuluhan jadi semula kepada pecahan. Kita namakan nombor kita a:
Darabkan dengan sepuluh. Titik perpuluhan beralih satu tempat ke kanan, dan selepasnya masih ada tak terhingga banyaknya digit 9:
Kemudian kita tolak a, dan semua digit 9 selepas titik perpuluhan saling menghapuskan:
Akhir sekali, bahagikan dengan sembilan:
Berapakah bezanya?
Jika 0.999… dan 1 berbeza, bezanya mestilah suatu nombor positif. Mari kita cuba mencarinya. Mula-mula kita ambil bilangan digit 9 yang terhingga sahaja:
Setiap digit 9 tambahan mengecilkan beza itu sepuluh kali ganda. Di bahagian atas rajah terdapat garis nombor dari sifar hingga satu, dengan titik biru pada 0.9 dan tembereng merah yang masih kurang untuk sampai ke satu. Setiap garis nombor berikutnya membesarkan tembereng itu sepuluh kali ganda. Oleh itu, titik-titik biru terletak berturut-turut pada 0.9, 0.99 dan 0.999:
Pilih sebarang nombor positif, sekecil mana pun, misalnya satu per bilion: dengan digit 9 yang cukup banyak, beza itu akan menjadi lebih kecil lagi. Namun, dalam 0.999… semua digit 9 hadir serentak, tak terhingga banyaknya. Jadi, beza itu mesti lebih kecil daripada sebarang nombor positif. Tetapi tiada nombor positif yang lebih kecil daripada semua nombor positif, kerana nombor itu mesti lebih kecil daripada separuh dirinya sendiri. Maka, beza itu hanya boleh sifar.
Bantahan yang biasa ialah bezanya 0.000…01, iaitu tak terhingga banyaknya sifar dengan digit 1 di hujungnya. Namun, deretan sifar yang tak terhingga panjangnya tidak mempunyai hujung, jadi tiada tempat untuk menulis digit 1 itu.
Tiada apa-apa di antara keduanya
Di antara sebarang dua nombor nyata yang berbeza, kita sentiasa dapat mencari nombor lain, contohnya min kedua-duanya. Di antara 0.5 dan 0.6 terletak 0.55, dan di antara 0.5 dan 0.55 pula terletak 0.525. Hal ini benar bagi setiap pasangan nombor yang berbeza, walau sedekat mana pun kedudukannya: min kedua-dua nombor sentiasa terletak di antaranya.
Nombor manakah yang terletak di antara 0.999… dan 1? Nombor itu mesti lebih besar daripada 0.999… dan pada masa yang sama lebih kecil daripada satu, jadi nombor itu bermula dengan sifar dan titik perpuluhan. Sekurang-kurangnya satu digit selepas titik perpuluhan itu mestilah lebih besar daripada 9, dan digit seperti itu tidak wujud. Tiada apa-apa yang muat di antara kedua-dua nombor itu, maka kedua-duanya sama.
Sebagai hasil tambah tak terhingga
Tatatanda perpuluhan sebenarnya ialah hasil tambah: 0.999… bermaksud sembilan persepuluh tambah sembilan perseratus tambah sembilan perseribu dan seterusnya:
Setiap sebutan ialah satu persepuluh daripada sebutan sebelumnya. Jadi, kita menambah sebutan suatu janjang geometri dengan sebutan pertama
Gantikan nilai-nilainya:
Secara tepat, hasil tambah siri tak terhingga ialah had bagi hasil tambah sebutan-sebutan pertamanya, iaitu had bagi jujukan 0.9, 0.99, 0.999, … Jujukan ini menghampiri satu, dan tatatanda 0.999… bermaksud had ini. Bukti-bukti sebelum ini juga bergantung pada hakikat tersebut.
Mengapa kita sukar mempercayainya
Gerak hati kita mengelirukan “banyak digit 9” dengan “tak terhingga banyaknya digit 9”. Nombor 0.999 dengan tiga digit 9 memang lebih kecil daripada satu, begitu juga nombor dengan sejuta digit 9. Jika dicetak, nombor itu memerlukan beberapa ratus halaman, namun masih ada sedikit yang kurang untuk sampai ke satu. Tetapi
Kita juga sering membayangkan 0.999… sebagai suatu proses: digit 9 terus ditambah dan nombor itu merangkak menghampiri satu. Namun, nombor itu tidak bergerak ke mana-mana. Semua digit 9 sudah ada sejak awal dan nilainya tidak berubah.
Batu penghalang kedua ialah idea bahawa satu nombor mempunyai dua tatatanda yang berbeza. Namun, hal ini sudah kita kenali daripada pecahan:
Sama seperti separuh boleh ditulis dengan pecahan yang berbeza, 0.5 juga mempunyai satu lagi tatatanda perpuluhan:
Setiap nombor bukan sifar yang perwakilan perpuluhannya terhingga mempunyai dua tatatanda, contohnya 0.25 = 0.24999… atau 7 = 6.999… Ini bukan dua nombor, tetapi satu nombor dalam dua rupa.