Nombor kompleks

Nombor kompleks ialah perluasan nombor nyata. Dalam set nombor nyata, kita boleh melakukan kebanyakan operasi biasa seperti penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian (kecuali pembahagian dengan sifar). Kita juga boleh mencari punca kuasa dua dalam nombor nyata, tetapi hanya bagi nombor bukan negatif. Hal ini merupakan suatu jurang, contohnya apabila kita menyelesaikan persamaan kuadratik dan pembeza layannya negatif. Nombor kompleks menutup jurang ini.

Apakah nombor kompleks

Nombor kompleks berbeza daripada nombor biasa terutamanya kerana nombor kompleks mempunyai dua bahagian — bahagian nyata dan bahagian khayal. Nombor kompleks ialah pasangan tertib nombor (x, y), dengan x ialah bahagian nyata dan y ialah bahagian khayal. Jika bahagian nyata ialah sifar, nombor itu dipanggil nombor khayal tulen. Nombor x dan y itu sendiri ialah nombor nyata.

Set nombor kompleks ditandakan dengan huruf besar C: ℂ.

Kesamaan nombor kompleks: tidak seperti nombor biasa, nombor kompleks mempunyai dua komponen. Jadi, jika dua nombor kompleks sama, kedua-dua komponennya mesti sama. Oleh itu, nombor-nombor kompleks berikut berbeza antara satu sama lain: (2, 3) ≠ (0, 3) ≠ (2, 0). Nombor kompleks z₁ = (1, 2) dan z₂ = (1, 2) sama: z₁ = z₂.

Bentuk Cartes dan unit khayal

Nombor kompleks lebih kerap ditulis dalam bentuk Cartes, iaitu seperti berikut. Nombor kompleks (x, y) mempunyai bentuk Cartes x + yi, dengan i dipanggil unit khayal. Kuasa dua unit khayal memenuhi hubungan yang sangat penting:

$$i^2=-1$$

Persamaan ini akan kerap digunakan, bersama-sama kuasa-kuasa yang lain. Kuasa yang lebih tinggi boleh dikira dengan cara biasa. Contohnya, jika kita mahu mempermudah i³, kita boleh menguraikan ungkapan itu menurut hukum indeks kepada i² · i. Kita sudah tahu bahawa i² sama dengan negatif satu. Faktor i yang kedua tidak boleh diuraikan lagi, maka kita peroleh: i³ = −i.

$$i^3=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{i}{\underbrace{i}}=-i$$

Begitu juga bagi i⁴. Kuasa ini boleh diuraikan kepada i² · i², dengan i² = −1, maka kita peroleh: −1 · − 1 = 1.

$$i^4=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{-1}{\underbrace{i^2}}=-1\cdot -1=1$$

Jadi, i⁴ = 1. Fakta ini berguna apabila kita mengira kuasa unit khayal yang lebih tinggi. Contohnya, apabila kita mengira i⁷, kita boleh menguraikannya kepada i⁴ · i³. Kita tahu bahawa i⁴ = 1, maka kita peroleh: 1 · i³. Kita juga tahu bahawa i³ = −i. Hasilnya ialah: 1 · (−i) = −i.

Penambahan dan pendaraban

Nombor kompleks boleh ditambah dan didarab. Apabila menambah dua nombor kompleks z₁ dan z₂, kita hanya menambah bahagian nyata dan bahagian khayal secara berasingan:

$$z_1+z_2=(x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$

Contoh: z₁ = 3 + 7i dan z₂ = 5 + 8i. Hasil tambahnya ialah: z₁ + z₂ = (3 + 5) + (7 + 8)i = 8 + 15i.

Hasil darab dua nombor kompleks lebih rumit sedikit, tetapi kita boleh mengembangkannya seperti pendaraban kurungan biasa. Rumus asasnya adalah seperti berikut:

$$z_1\cdot z_2=(x_1+y_{1}i)\cdot (x_2+y_{2}i)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Bagaimanakah kita memperoleh rumus ini? Mari kita darabkan z₁ · z₂ sama seperti kita mendarab kurungan biasa. Kita peroleh:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i+y_1{y}_2{i}^2$$

Oleh sebab i² = −1, selepas mengubah sebutan terakhir kita peroleh:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i-y_1{y}_2$$

Sekarang kita kumpulkan sebutan tanpa unit khayal dan sebutan dengan unit khayal:

$$z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Contoh. Mari kita darabkan nombor 5 + 6i dan 4 + 7i. Kita peroleh:

$$(5+6i)\cdot (4+7i)=20+35i+24i+42i^2=20+59i-42=-22+59i$$

Songsangan tambah, salingan dan konjugat kompleks

• Songsangan tambah bagi nombor kompleks x + yi berbentuk −x − yi. Sama seperti nombor nyata, kita memperoleh songsangan tambah dengan mendarab nombor kompleks itu dengan negatif satu. Contoh: songsangan tambah bagi 2 + 7i ialah −2 − 7i. Songsangan tambah bagi −5 + 8i ialah 5 − 8i, dan sebagainya.

• Salingan bagi nombor kompleks x + yi berbentuk $\frac{1}{x+yi}$. Jadi, salingan bagi nombor 4 − 2i berbentuk $\frac{1}{4-2i}$.

• Konjugat kompleks bagi nombor x + yi berbentuk x − yi. Konjugat biasanya ditandakan dengan garis di atas huruf seperti ini: $\bar{z}$, atau dengan tanda bintang: z*. Nombor ini ialah konjugat kompleks bagi nombor kompleks z. Konjugat kompleks bagi nombor 2 + 9i ialah nombor 2 − 9i.

Penolakan dan pembahagian

Setelah songsangan tambah dan salingan ditakrifkan, kita juga boleh mentakrifkan operasi penolakan dan pembahagian. Jika kita mahu menolak dua nombor kompleks, z₁ − z₂, kita menambahkan songsangan tambah bagi z₂ kepada nombor z₁. Dalam amalan, kita memperoleh rumus yang mudah:

$$z_1-z_2=(x_1+y_{1}i)-(x_2+y_{2}i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$$

Begitu juga, pembahagian z₁ / z₂ ditukarkan kepada pendaraban: kita darabkan z₁ · z₂′, dengan z₂′ ialah salingan bagi nombor z₂.

Modulus

Modulus nombor kompleks z dikira dengan rumus:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\cdot \bar{z}}$$

(Dalam punca kuasa dua, z yang kedua ialah konjugat kompleks bagi z.) Makna rumus ini jelas kelihatan dalam perwakilan geometri nombor kompleks.

Setiap nombor kompleks yang modulusnya sama dengan satu dipanggil nombor kompleks unit. Contoh nombor kompleks seperti ini: 1, i, $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Sifat modulus:

• Modulus suatu nombor kompleks ialah nombor nyata.
• |z| ≥ 0
• |z| = |−z| = |z*|, dengan z* ialah konjugat kompleks.