Relaties

Een relatie is het wiskundige equivalent van het gewone begrip “verband”. In het dagelijks leven staat Monique bijvoorbeeld in een bepaalde verhouding tot Jolanda, namelijk “moeder — dochter”. Een ander verband is “land — hoofdstad van dat land”. Een voorbeeld is Egypte — Caïro.

Meer voorbeelden van relaties

We nemen nog wat voorbeelden erbij. In de inleiding noemden we de relaties (verbanden) “de moeder van haar dochter zijn” en “de hoofdstad van een land zijn”. Hier zijn er nog een paar: “een even getal zijn”. In deze relatie zitten de getallen 2, 4, 8, 18, 58, 66 en nog veel meer. De getallen 1, 3, −7, 19 zitten niet in de relatie “een even getal zijn”. Een relatie uit de gewone wereld kan zijn: “een man zijn”. Adam, Thijs, Lucas of Martin zitten in de relatie “een man zijn”.

Een ander voorbeeld is de relatie “kleiner dan”. Het getal drie is bijvoorbeeld “kleiner dan” het getal vijf. Wiskundig schrijven we dat als 3<5. Of de gelijkheidsrelatie: het getal drie “is gelijk aan” het getal drie, wiskundig: 3 = 3.

We kunnen ook ingewikkelder voorbeelden hebben: “vader en moeder zijn de ouders van een kind”. In deze relatie zit een drietal personen: vader Daniel, moeder Marie en kind Anne. In de wiskunde kunnen we een relatie met drie elementen bedenken, bijvoorbeeld: de som van de eerste twee getallen is gelijk aan het derde getal. De getallen 3, 4, 7 zitten in deze volgorde in deze relatie, want 3 + 4 = 7. Deze getallen zitten niet in de relatie: 3, 5, 12, want 3 + 5 ≠ 12.

Ariteit van een relatie

Ariteit is een raar klinkende term, maar hij geeft gewoon aan hoeveel elementen we in de relatie hebben. In de voorgaande voorbeelden werkten we met een verschillend aantal elementen. Bij de relatie “een man zijn” hadden we genoeg aan één element, dus we kunnen zeggen: “Jan is een man”. Eén naam is genoeg, één element. Zo'n relatie noemen we unair.

In het volgende voorbeeld hadden we de relatie “kleiner dan”. Die werkte met twee getallen, met twee elementen. We zeiden dat het getal drie kleiner is dan vijf. We gebruikten twee elementen, dus de relatie is binair.

In het laatste voorbeeld gebruikten we in totaal drie elementen: de som van twee getallen moest gelijk zijn aan het derde. We hadden dus getallen a, b, c en er moest gelden a + b = c. Deze relatie is ternair.

Voor hogere ariteiten kunnen we de term n-aire relatie gebruiken. Maar we kunnen die ook voor lagere ariteiten gebruiken: een binaire relatie kunnen we ook schrijven als een 2-aire relatie. De elementen van de relatie schrijven we dan op als geordende n-tallen. Bij een binaire relatie schrijven we ze als paren, meestal met ronde of met vierkante haken. Als we willen opschrijven dat de getallen drie en vijf in de relatie “kleiner dan” zitten, moeten we de getallen dus als paar schrijven: (3, 5), of eventueel [3, 5]. Let op: de volgorde doet ertoe, andersom zou het niet gelden: (3, 5) ≠ (5, 3) — vijf is niet kleiner dan drie.

Een voorbeeld met een familie

Voordat we aan de wiskundige definities beginnen, doen we nog een typisch voorbeeld met een familie. We hebben de volgende leden van één familie:

• Max: grootvader van vaderskant;
• Joost: vader;
• Marieke: moeder;
• Sandra: dochter;
• Daan: zoon.

Eerst zoeken we alle familieleden die bij de relatie “een man zijn” horen. Dit is een 1-aire, dus unaire, relatie. In de relatie zit dus telkens maar één element, één familielid. Nu moeten we alle familieleden opschrijven die van het mannelijke geslacht zijn. Nu doet de volgorde er niet toe. De relatie “een man zijn” bevat dus de volgende elementen: {[Max], [Joost], [Daan]}. Merk op dat we, ook al is het een unaire relatie, vierkante haken hebben gebruikt. Dat is niet nodig, ook zonder haken zou de notatie leesbaar zijn, maar voor de consistentie heb ik de haken laten staan. De verzameling van alle elementen van de relatie is dan een gewone verzameling, vandaar de accolades.

Nu zoeken we alle relaties “vader — zoon”. Dat is op het eerste gezicht al een binaire relatie, in het resultaat komen geordende paren van elementen voor. De verzameling ziet er zo uit: {(Joost, Daan), (Max, Joost)}. Vader Joost is de vader van zoon Daan en grootvader Max is de vader van vader Joost. Merk op dat de volgorde er echt toe doet: Joost komt er twee keer in voor, maar één keer op de eerste plaats als vader en één keer op de tweede plaats als zoon.

We proberen nog een andere relatie: “ouder — kind”. Daar zit meer in, want op de eerste plaats kan elke ouder staan, zowel de vader als de moeder, en op de tweede plaats elk kind, zowel de zoon als de dochter. We moeten ook rekening houden met het feit dat grootvader Max de ouder van Joost is, maar niet de ouder van Marieke. Joost en Marieke zijn wel allebei ouders van Sandra en Daan. Sandra en Daan zijn niemands ouder, want ze zijn pas negentien en dertien jaar. Het resultaat bestaat uit deze geordende paren: {(Max, Joost), (Joost, Sandra), (Joost, Daan), (Marieke, Sandra), (Marieke, Daan)}. Merk op dat Joost en Marieke er allebei twee keer in voorkomen — één keer als ouders van dochter Sandra en één keer als ouders van Daan.

Nog een laatste kunstje met binaire relaties. We nemen de relatie “broer of zus — broer of zus”. Hier moeten we bedenken dat bij relaties de volgorde ertoe doet. Als we in het resultaat van deze relatie alleen “Sandra — Daan” zouden opschrijven, zou dat dus fout zijn, want dat is een heel ander geordend paar dan “Daan — Sandra”. Het juiste resultaat is daarom: {(Sandra, Daan), (Daan, Sandra)}.

En nog een kort voorbeeld over de ternaire relatie: schrijf alle geordende drietallen van deze relatie op: “grootvader — vader — kind”. In de opgave hebben we maar één grootvader en één vader, maar twee kinderen. Het is niet genoeg om alleen de variant met Sandra of alleen die met Daan op te schrijven, we moeten ze allebei noemen. Het zou anders zijn als aan het eind “zoon” in plaats van “kind” had gestaan. Het juiste resultaat is: {(Max, Joost, Sandra), (Max, Joost, Daan)}.

Definitie van een unaire relatie

We onderzoeken de eenvoudigste relaties, de unaire. Onder een unaire relatie verstaan we een verzameling van elementen. De verzameling {2, 3} kan een relatie voorstellen. Bijvoorbeeld de relatie “een priemgetal kleiner dan vijf zijn” of “een niet-triviale deler van het getal zes zijn”, afhankelijk van onze interpretatie.

Scherpe lezers hebben gezien dat de tweede relatie een beetje raar is gedefinieerd. Er staat dat de relatie de niet-triviale delers van het getal zes moet bevatten en in de verzameling die eruit komt hebben we de getallen 2 en 3. Ontbreken er niet een paar? De getallen 1 en 6 zijn triviale delers, die interesseren ons niet. Maar de negatieve getallen −2 en −3 zouden er ook in moeten zitten. De verzameling van alle niet-triviale delers van het getal 6 ziet er dus zo uit: {−3, −2, 2, 3}.

Net zoals we bij functies het domein vastleggen, leggen we bij een relatie de onderliggende verzameling vast — de verzameling waaruit we de elementen van de relatie kiezen. In de voorgaande voorbeelden hebben we bijvoorbeeld de familie vastgelegd waarin opa Max zat enzovoort. We kozen de vaders en kinderen niet uit alle families ter wereld. Als we als onderliggende verzameling de verzameling van de natuurlijke getallen vastleggen, dan is onze relatie in orde.

Nu kunnen we aan de definitie van een relatie beginnen. Als de onderliggende verzameling de natuurlijke getallen is, welke elementen kan onze unaire relatie dan bevatten? Ook alleen natuurlijke getallen. Alle of maar een deel. We kunnen dus zeggen dat de relatie een deelverzameling van de verzameling van de natuurlijke getallen is. Algemener: als we een unaire relatie R en een onderliggende verzameling M hebben, dan geldt R ⊆ M, de relatie R is een deelverzameling van de verzameling M.

Definitie van een binaire relatie

Hoe zit dat bij een binaire relatie? Bij een binaire relatie zijn de elementen van de relatie R geordende paren. Elk element van het paar mag uit een andere verzameling komen. We kunnen de relatie “ouder — aantal kinderen” hebben. De ouder kiezen we uit de verzameling van mensen, bijvoorbeeld in Europa, en het aantal kinderen uit de verzameling van de natuurlijke getallen plus nul.

Hoe komen we van twee verzamelingen tot de verzameling van alle mogelijke paren? Met het cartesisch product. Als we de verzamelingen A = {a, b, c}, B = {1, 2} hebben, krijgen we met het cartesisch product:

$$A\times B=\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)\}$$

Dat is de verzameling van alle mogelijke paren die we kunnen krijgen door op de eerste plaats een element van de verzameling A te zetten en op de tweede plaats een element van de verzameling B. Als we dus een binaire relatie R tussen de verzamelingen A en B hebben, kunnen we deze relatie definiëren als R ⊆ A × B.

Stel dat we de vorige verzamelingen A en B houden en tussen deze verzamelingen de relatie R als volgt definiëren: “letter — plaats van de letter in het alfabet”. Dan ziet deze relatie er zo uit: R = {(a, 1), (b, 2)}. De letter c zit er dan niet in, omdat het paar (c, 3) niet voorkomt in het cartesisch product A × B.

Definitie van een n-aire relatie

Tot slot definiëren we de algemene n-aire relatie R tussen de verzamelingen M₁, M₂, …, M_n:

$$R\subseteq M_1\times M_2\times \dots \times M_n$$

Een relatie is dus een deelverzameling van geordende n-tallen. Een voorbeeld van een binaire relatie is de relatie “kleiner dan”, oftewel <. Die kunnen we definiëren op een getalverzameling, bijvoorbeeld op de natuurlijke getallen. Dan ziet de relatie er zo uit:

$$<\subseteq \mathbb{N}\times \mathbb{N}$$

(Schrik er niet van dat het teken < zo raar links staat. Het is gewoon de naam van de relatie. Er had weer R kunnen staan, waarbij R de relatie kleiner dan voorstelt.)

Concreet zou de relatie er zo uitzien:

$$\begin{array}{rcl}<=& & (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),\dots \\ & & (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\dots \\ & & (3,4),(3,5),(3,6),(3,7),\dots \\ & & (4,5),(4,6),(4,7),(4,8),\dots \\ & & \dots \\ & & \end{array}$$

Het is de verzameling van geordende paren waarvan het natuurlijke getal op de eerste plaats kleiner is dan het natuurlijke getal op de tweede plaats.

Schrijfwijze van relaties

Relaties noemen we meestal met hoofdletters R, S enzovoort of met bekende symbolen: <, ⊆, = enzovoort. Uit de voorgaande definities blijkt dat een relatie eigenlijk een verzameling is. Bijna alles in de wiskunde is trouwens een verzameling :-). Als we willen zeggen dat een element r tot de relatie R behoort, kunnen we dat dus schrijven als r ∈ R.

We kunnen bijvoorbeeld (1, 3) ∈ < schrijven en dat betekent dat het paar getallen een en drie tot de relatie kleiner dan behoort. Bij binaire relaties komen we vaak een prettiger notatie tegen, die je al van de basisschool kent. In plaats van de operator “is element van” ∈ te gebruiken, schrijven we gewoon 1 < 3. Zo schrijven we meestal ook niet (5, 5) ∈ =, maar 5 = 5.