✖

Natuurlijke getallen

Natuurlijke getallen zijn de getallen die we het vaakst gebruiken in het dagelijks leven. Het zijn de positieve gehele getallen, dus de getallen 1, 2, 3, 4, …

Notatie

De natuurlijke getallen vormen een verzameling met de positieve gehele getallen 1, 2, 3, 4, … Deze verzameling schrijven we meestal met de letter N met een dubbele eerste streep: ℕ. Dat komt van het Engelse “naturals”.

Soms rekenen we ook het getal 0 tot de natuurlijke getallen. In Nederlandse boeken kom je allebei de afspraken tegen: de ene keer hoort 0 erbij, de andere keer niet. Op deze website gebruiken we ℕ voor de verzameling zonder 0. Wil je 0 wel meenemen, dan zetten we een nul als index: ℕ0. Soms schrijven we ook een plusteken, ℕ+, om te benadrukken dat we het over de natuurlijke getallen zonder 0 hebben.

Natuurlijke getallen gebruiken we vooral om aan te geven hoeveel er van iets is (“we hebben drie stoelen in huis”, “in het park staan dertig banken”, …) en om een volgorde aan te geven (“de eerste mens op de maan”, “Canada is het op een na grootste land ter wereld”, …).

Eigenschappen

De natuurlijke getallen hebben een paar interessante eigenschappen:

  1. De verzameling van de natuurlijke getallen is oneindig, maar wel aftelbaar: we kunnen ze allemaal in een rij zetten.
  • De natuurlijke getallen zijn afgesloten onder optellen en vermenigvuldigen. Dat betekent dat we weer een natuurlijk getal krijgen als we twee willekeurige natuurlijke getallen optellen of vermenigvuldigen.
  • Ze zijn niet afgesloten onder aftrekken, want als we een groter getal van een kleiner getal aftrekken, krijgen we een negatief getal.
  • Ze zijn ook niet afgesloten onder delen, want 7/2 is bijvoorbeeld geen natuurlijk getal.

Delen met rest

Hierboven zagen we dat de natuurlijke getallen niet afgesloten zijn onder delen. We kunnen wel delen met rest definiëren, en dat ken je vast al. Als we 7/2 uitrekenen, krijgen we 3,5. Met delen met rest krijgen we als uitkomst 3 en als rest 1. Als we dus 3 · 2 berekenen en de rest erbij optellen, krijgen we weer 7: 3 · 2 + 1 = 7.

De natuurlijke getallen zijn dan nog steeds niet afgesloten onder deze bewerking, maar de natuurlijke getallen mét 0 wel. Zowel de uitkomst als de rest ligt dus in de verzameling ℕ0.

De definitie van delen met rest ziet er zo uit:

a=bq+r;a,q,r∈N0,b∈N,r<b

In de definitie delen we a:b. Het getal r heet de rest en q is de uitkomst van de deling (het quotiënt). Wat betekenen de voorwaarden? We werken met de natuurlijke getallen inclusief 0, maar omdat we niet door nul kunnen delen, kiezen we b uit de verzameling zonder 0.

Neem als voorbeeld de berekening 19:5. Dan geldt a = 19 en b = 5. De splitsing ziet er zo uit:

19=5⋅3+4

Dus q = 3 is de uitkomst van de deling en r = 4 is de rest.