Lichamen

Om de uitleg hieronder te begrijpen heb je geen speciale wiskundige vaardigheden of voorkennis nodig. Het is genoeg dat je de absolute basis van de wiskunde op de middelbare school snapt en zin hebt om iets nieuws te leren.

De boeman genaamd algebraïsch lichaam

Als alleen al de naam algebraïsch lichaam je de stuipen op het lijf jaagt: er is echt niets om bang voor te zijn. Zo'n lichaam is eigenlijk een heel eenvoudig ding, als je er vanuit de juiste hoek naar kijkt.

Een algebraïsch lichaam is een willekeurige verzameling plus twee binaire bewerkingen die aan bepaalde voorwaarden voldoen. Dat is alles. Niet meer en niet minder. Je ziet het: niets gevaarlijks of angstaanjagends. En nu we dit weten, kunnen we zonder angst wat dichterbij gaan kijken.

De verzameling van elementen van het lichaam

Onze willekeurige verzameling noemen we T en de elementen ervan noemen we elementen van het lichaam. Geloof me, de verzameling van elementen van het lichaam mag helemaal willekeurig zijn. Het kan de verzameling van alle even getallen zijn, de verzameling van alle sokken waarvan de andere van het paar kwijt is, of je verzameling knuffelolifanten. De enige voorwaarde is eigenlijk dat de verzameling T niet leeg mag zijn. Anders valt er namelijk weinig te beleven.

Binaire bewerking

Als je niet meteen ziet wat een binaire bewerking eigenlijk is, kun je je er een kleine molen bij voorstellen. Je stopt er twee elementen van een verzameling in (vandaar het “binair” in de naam), je draait rustig aan de zwengel en er valt een nieuw element uit, weer uit jouw verzameling. Delen is zo'n mooie binaire bewerking. Wil je weten hoeveel 10 / 5 is? Neem de binaire bewerking delen (de molen), met de verzameling van de reële getallen als jouw verzameling. Je gooit eerst de tien in de molen en dan de vijf, je draait aan de zwengel en, verrassing, er komt een twee uit.

We geven onze twee bewerkingen de namen optellen en vermenigvuldigen en we schrijven ze als ⊕ en ⊗. Laat je niet misleiden door de namen. Met het optellen en vermenigvuldigen dat we normaal gebruiken hoeven deze bewerkingen niet veel gemeen te hebben. Dat komt doordat de elementen van het lichaam willekeurige objecten kunnen zijn. Op knuffelolifanten of sokken kunnen we “ons” optellen en vermenigvuldigen niet toepassen.

Bewerkingen op een lichaam

De bewerkingen ⊕ en ⊗ moeten aan bepaalde voorwaarden voldoen. We kunnen ze niet helemaal willekeurig invoeren. Het doel van deze bewerkingen is namelijk een veralgemening van het gewone optellen en vermenigvuldigen van getallen. We willen ze kunnen gebruiken op elementen van het lichaam, die, zoals we al weten, volkomen willekeurige objecten kunnen zijn en dus niet alleen getallen. Toch willen we dat ⊕ en ⊗ de basisbetekenis van optellen en vermenigvuldigen behouden. Dat regelen we door tien voorwaarden in te voeren waaraan deze bewerkingen moeten voldoen, wil onze structuur een lichaam zijn. Deze voorwaarden noemen we de lichaamsaxioma's. Hier zijn ze:

1. Commutativiteit van de optelling — Voor elke twee elementen a, b van het lichaam T moet gelden a ⊕ b = b ⊕ a.

• Associativiteit van de optelling — Voor elke drie elementen a, b, c van het lichaam T moet gelden (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c).
• Bestaan van een nulelement — Er moet een element van het lichaam T bestaan, we noemen het 0 (let op, niet te verwarren met het getal 0), met de eigenschap dat voor elk element a van het lichaam T geldt a ⊕ 0 = a.
• Bestaan van een tegengesteld element — Bij elk element a van het lichaam T moet een element van het lichaam T bestaan, we noemen het -a, met de eigenschap dat a ⊕ −a = 0.
• Commutativiteit van de vermenigvuldiging — Voor elke twee elementen a, b van het lichaam T moet gelden a ⊗ b = b ⊗ a.
• Associativiteit van de vermenigvuldiging — Voor elke drie elementen a, b, c van het lichaam T moet gelden (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c).
• Bestaan van een eenheidselement - Er moet een element van het lichaam T bestaan, we noemen het 1 (let op, niet te verwarren met het getal 1), met de eigenschap dat voor elk element a van het lichaam T geldt a ⊗ 1 = a.
• Bestaan van een invers element — Bij elk element a van het lichaam T dat ongelijk is aan 0 moet een element van het lichaam T bestaan, we noemen het a⁻¹, met de eigenschap dat a ⊗ a⁻¹ = 1.
• Distributiviteit - Voor elke drie elementen a, b, c van het lichaam T moet gelden a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c).
• Niet-trivialiteit — Het nulelement en het eenheidselement mogen niet hetzelfde zijn. Dus 0 ≠ 1

Voor wie wil oefenen met wiskundig formalisme heb ik de lichaamsaxioma's hier ook opgeschreven zoals dat in wiskundig jargon gaat.

1. ∀a,b ∈ T   a ⊕ b = b ⊕ a

• ∀a,b,c ∈ T   (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
• ∃0 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊕ 0 = a
• ∀a ∈ T   ∃−a ∈ T   a ⊕ −a = 0
• ∀a,b ∈ T   a ⊗ b = b ⊗ a
• ∀a,b,c ∈ T   (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)
• ∃1 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊗ 1 = a
• ∀a ∈ T   ∃a⁻¹ ∈ T, a ≠ 0   a ⊗ a⁻¹ = 1
• ∀a,b,c ∈ T   a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)
• 0 ≠ 1

Misschien denk je nu dat het verschrikkelijk veel axioma's zijn. Ze zijn allemaal makkelijk te begrijpen als je bedenkt wat ze betekenen. De eerste vier beschrijven de gebruikelijke eigenschappen van de optelling en de volgende vier de gebruikelijke eigenschappen van de vermenigvuldiging, die bovendien erg lijken op de eerste vier. Het negende axioma zegt hoe optellen en vermenigvuldigen met elkaar samenhangen. Alleen het tiende is een eerder technisch punt, dat ervoor zorgt dat het lichaam geen rare eigenschappen kan hebben.

Merk op hoe mooi we het invoeren van aftrekken en delen hebben vermeden. Die bewerkingen worden ingevoerd met behulp van het optellen van het tegengestelde element en het vermenigvuldigen met het inverse element. Dus bijvoorbeeld 4 − 2 is gewoon een afkorting voor 4 + (−2) en 4 / 2 is gewoon een afkorting voor 4 · 2⁻¹.

Een overzicht van lichamen

Nu hebben we het begrip algebraïsch lichaam formeel ingevoerd. Als we intuïtief willen zeggen wat een lichaam eigenlijk is, kunnen we zeggen dat het een structuur is waarmee we willekeurige objecten kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, als we die bewerkingen erop kunnen definiëren, en wel op een manier die lijkt op hoe we die bewerkingen in de elementaire rekenkunde uitvoeren.

Ons eerste lichaam

Nu we lichamen zo mooi hebben bedacht en beschreven, gaan we een echt lichaam construeren. Eerst kiezen we de verzameling van elementen van het lichaam. We experimenteren nog niet te veel met knuffelolifanten of sokken en kiezen natuurlijke getallen als elementen van het lichaam. Om het echt eenvoudig te houden nemen we alleen de getallen 0, 1, 2, 3, 4. Onze verzameling T ziet er dus zo uit:

$$T=\{0,1,2,3,4\}$$

Nu moeten we alleen nog slim de bewerkingen ⊕ en ⊗ definiëren. Daarvoor gebruiken we de optelling en vermenigvuldiging die we al kennen uit de rekenkunde. We passen ze alleen een beetje aan, zodat ze ook op ons lichaam werken.

• Bewerking ⊕ De som van twee elementen a ⊕ b bepalen we door de rest te berekenen van de som a + b bij deling door vijf. Optellen in ons lichaam ziet er dus zo uit: 1 ⊕ 1 = 2    1 ⊕ 3 = 4    2 ⊕ 3 = 0    4 ⊕ 2 = 1 enzovoort.
• Bewerking ⊗ Het product van twee elementen a ⊗ b bepalen we door de rest te berekenen van het product ab bij deling door vijf. Vermenigvuldigen in ons lichaam ziet er dus zo uit: 1 ⊗ 1 = 1    2 ⊗ 2 = 4    2 ⊗ 3 = 1    4 ⊗ 2 = 3    enzovoort.

Dat was het. Nu hebben we een volwaardig lichaam gemaakt. Het zou nog goed zijn om alle axioma's na te lopen, zodat we zeker weten dat we echt een lichaam hebben gemaakt en geen gedrocht.

• De commutativiteit en associativiteit van optellen en vermenigvuldigen kun je vast zelf controleren, net als de distributiviteit.
• Uit de manier waarop we optellen en vermenigvuldigen hebben gedefinieerd volgt ook dat er een nulelement is (in ons geval is dat toevallig het getal 0) en een eenheidselement (in ons geval 1), en dat die verschillend zijn.
• Nu hoeven we alleen nog het bestaan van het tegengestelde en het inverse element te controleren. We zien vast allemaal dat er bij elk getal uit de verzameling {0, 1, 2, 3, 4} een getal uit dezelfde verzameling bestaat zodat de som van de twee nul of vijf is (dus in ons lichaam 0).
• Net zo geldt dat voor het vermenigvuldigen: bij elk getal ongelijk aan nul uit deze verzameling bestaat een getal waarmee het product bij deling door vijf rest 1 geeft (dus in ons lichaam 1). Het getal 4 heeft bijvoorbeeld het inverse element 4, want 4 · 4 = 16 en na deling door 5 is de rest 1. Probeer de andere inverse elementen maar te vinden!

Voorbeelden van andere lichamen

Net hebben we een lichaam gemaakt met vijf elementen. Het blijkt dat je op dezelfde manier ook andere lichamen kunt maken waarvan het aantal elementen een priemgetal is. Zulke lichamen heten restklassenlichamen en worden aangeduid met Z_p, waarbij p het aantal elementen van het lichaam is. Ze worden heel vaak gebruikt, zowel in de wiskunde en informatica als natuurlijk in allerlei tentamenopgaven.

Kun je ook lichamen maken met een aantal elementen dat geen priemgetal is? Ja, dat kan, maar niet op de manier die ik net liet zien. Waarom? Stel je een lichaam voor dat met de hierboven beschreven methode is gemaakt en maar vier elementen heeft. In zo'n lichaam geldt 2 ⊗ 2 = 0. Het product van twee getallen ongelijk aan nul is dus nul. Dat mag in een lichaam niet gebeuren. Het is niet direct verboden in de lichaamsaxioma's, maar het is er vrij gemakkelijk uit af te leiden. Het blijkt echter dat je, als je in plaats van getallen veeltermen als elementen van het lichaam gebruikt, ook lichamen kunt maken waarvan het aantal elementen een macht van een priemgetal is. Een lichaam met vier elementen bestaat dus, want vier is een macht van twee.

Natuurlijk zijn er ook lichamen met oneindig veel elementen. De verzameling van de reële getallen met onze gewone optelling en vermenigvuldiging vormt bijvoorbeeld ook een lichaam. Dat geldt niet alleen voor de reële getallen, maar ook voor de rationale en de complexe. De natuurlijke en de gehele getallen vormen geen lichaam, omdat daarin de tegengestelde, respectievelijk inverse elementen ontbreken.

En het beste komt aan het eind. Niemand schrijft ons voor dat lichamen uit getallen, veeltermen of zelfs maar wiskundige objecten moeten bestaan. Zoals ik al zei, kun je een lichaam van sokken, knuffelolifanten enzovoort maken. Het enige probleem is waarschijnlijk hoe je optellen en vermenigvuldigen op olifanten definieert. Het mooie is dat het je nooit zal lukken een lichaam te maken dat zes sokken bevat. Want zes is geen priemgetal en ook geen macht van een priemgetal. Maar je kunt prima een lichaam maken met zeventien sokken, ze allemaal nummeren (de witte sok wordt 0, de zwarte 1, de groene 2 enzovoort) en ze dan optellen zoals wij optelden in het restklassenlichaam.

En waar is het allemaal goed voor?

Als je tot hier hebt gelezen, vraag je je misschien af waarom we in hemelsnaam zo'n gekke structuur als het algebraïsch lichaam nodig hebben. Nou, lichamen zijn heel belangrijk, zowel theoretisch, omdat ze beschrijven en vooral veralgemenen wat je rekenen zou kunnen noemen, dus de rekenkunde, als praktisch, omdat veel wiskundige of informaticaproblemen makkelijker op te lossen zijn als we ze zien als rekenen in lichamen. Eindige lichamen zijn bijvoorbeeld heel belangrijk voor de codes op cd's of dvd's. Verder zijn lichamen, wat de lineaire algebra zelf betreft, de hoeksteen voor andere, ingewikkeldere en daardoor veel nuttigere en interessantere structuren, zoals vectorruimten. Die vormen namelijk de basis van de hele lineaire algebra.

De auteur van dit artikel is Lishaak.