Rang van een matrix

De rang van een matrix is een getal dat het aantal onafhankelijke rijen of kolommen van de matrix aangeeft.

Definitie

De rang van een matrix is het maximale aantal lineair onafhankelijke rijen/kolommen in de matrix. De nulmatrix heeft rang nul, elke andere matrix heeft minstens rang één. Een matrix van het type m × n kan hoogstens rang min(m, n) hebben. Als een matrix dus minder rijen dan kolommen heeft, is de rang van de matrix hoogstens gelijk aan het aantal rijen. Net zo voor kolommen.

De rang van een matrix noteren we meestal met het woord “rang”. We schrijven dan rang(A) = x.

Hoe bereken je de rang?

Nu: hoe wordt de rang van een matrix berekend? Dat is vrij eenvoudig. Je moet de matrix herleiden tot een vorm waarin je duidelijk kunt zien welke rijen lineair onafhankelijk zijn. Meestal doe je dat door de matrix te herleiden tot trapvorm (onder de diagonaal allemaal nullen), en dan zie je al hoe de matrix ervoor staat. Hup, meteen een voorbeeld — we hebben deze matrix:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 1& -1\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

En we moeten haar rang bepalen. Nu moeten we een kleinigheid bedenken. Als we twee rijen hebben die vol staan met getallen ongelijk aan nul, kunnen die in theorie lineair afhankelijk zijn. We zouden dat moeten uitrekenen. Maar als een van die rijen op een of andere plaats een nul heeft, terwijl de andere rij op dezelfde plaats geen nul heeft, kunnen we met zekerheid zeggen dat ze niet afhankelijk zijn. We vinden namelijk geen getal waarmee we die nul (en dus de hele rij) kunnen vermenigvuldigen om daar hetzelfde getal te krijgen als in de andere rij. Daarom proberen we matrices altijd te herleiden tot trapvorm, zodat we die nullen daar krijgen.

De voorgaande alinea kunnen we zo opschrijven. Als α₁, α₂ ≠ 0, dan:

$${\alpha }_1\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)+{\alpha }_2\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{ccc}0& a& b\end{array}\right)$$

Daarom proberen we de matrix in een vergelijkbare vorm te krijgen, zodat we de afhankelijkheden eenvoudig zien. Kijk naar dit voorbeeld:

$$\left(\begin{array}{ccc}4& -5& 1\\ 0& 7& 2\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$$

Dit is een matrix in trapvorm, er zijn geen lineair afhankelijke rijen. Je kunt de derde niet uitdrukken met de eerste twee rijen, want als je coëfficiënten alfa ongelijk aan nul hebt, houd je op de eerste plaatsen altijd een getal ongelijk aan nul over.

De werkwijze is meestal als volgt: eerst krijgen we nullen in de eerste kolom (behalve in de eerste rij). Daarna werken we de matrix verder bij om nullen in de tweede kolom te krijgen, dan de derde enzovoort, enzovoort, enzovoort, tot we uiteindelijk een trapvorm hebben. We tellen de rijen die niet nul zijn en kijk: we hebben de rang van de matrix. We mogen de volgende operaties gebruiken zonder dat de rang van de matrix verandert:

• Twee willekeurige rijen verwisselen.
• Een rij vermenigvuldigen met een willekeurige uitdrukking ongelijk aan nul.
• Een rij bij een andere optellen.
• Alle voorgaande operaties kunnen ook op kolommen worden toegepast.

Voorbeeld

Bij onze vorige matrix voeren we de operaties zo uit: we kijken naar het verband tussen de elementen a₁₁ en a₂₁. We zien dat ze gelijk zijn, dus om op de plaats a₂₁ een nul te krijgen, moeten we het −1-voud van de eerste rij optellen. We tellen het −1-voud van de eerste rij op bij de tweede rij (of anders gezegd: we trekken de eerste rij af van de tweede rij):

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

Nu hebben we een nul waar we die wilden hebben. Nu moeten we nog een nul krijgen op de positie a₃₁. Daar staat weer een één, dus we trekken gewoon de eerste rij af:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$$

Nu hebben we nullen in de eerste kolom, dus we gaan met zin aan de slag met de tweede kolom. We zien dat de getallen a₂₂ en a₃₂ elkaars tegengestelde zijn, dus het is genoeg de rijen op te tellen:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

En we hebben daar een nulrij gekregen. De operaties zijn klaar, we zijn bij de trapvorm aangekomen. Nu hoeven we alleen nog de rijen die niet nul zijn te tellen en we hebben de rang. Die is gelijk aan rang A = 2. Deze matrix had rang twee.

Tweede voorbeeld

Nu proberen we de rang van een wat grotere matrix te berekenen:

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 5& 1\\ 1& 3& 5& -7\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

De rang van een matrix is het maximale aantal lineair onafhankelijke rijen, dus we mogen de rijen in de matrix naar believen verwisselen. Hier zou het bijvoorbeeld handig zijn om de rij met een één aan het begin helemaal bovenaan te hebben, dan rekent het makkelijker. We kunnen dus zonder zorgen de eerste en de tweede rij verwisselen:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 7& 2& 5& 1\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

Nu gaan we net zo te werk als in het vorige voorbeeld. We moeten in de eerste kolom allemaal nullen hebben (behalve natuurlijk in de eerste rij), dus bij de tweede rij tellen we het −7-voud van de eerste rij op, bij de derde het −4-voud en bij de laatste het −2-voud. De eerste rij blijft ongewijzigd:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& -19& -30& 50\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& 2& 0& 5\end{array}\right)$$

We verwisselen weer rijen, deze keer zouden we de laatste rij in plaats van de tweede rij moeten nemen, vanwege die twee op de tweede plaats. We verwisselen de tweede en de vierde rij:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& -19& -30& 50\end{array}\right)$$

Maar we zien dat onder de twee de getallen −17 en −19 staan. Geen van die getallen is deelbaar door twee, wat nogal onhandig is, zelfs hinderlijk. Daarom vermenigvuldigen we nu de derde en vierde rij met twee:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -34& -38& 56\\ 0& -38& -60& 100\end{array}\right)$$

Nu kunnen we verdergaan met de operaties en proberen de tweede kolom te nullen. Bij de derde rij tellen we het 17-voud van de tweede rij op en bij de vierde het 19-voud:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& -38& 141\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

Zo, nu hebben we een stel nogal onhandige getallen voor de volgende stap, maar daar komen we wel uit. We delen de derde rij door −38:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

En nu vermenigvuldigen we de derde rij met 60 en tellen die op bij de vierde rij:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& 195-\frac{60\cdot 141}{38}\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& -\frac{525}{19}\end{array}\right)$$

We hebben een niet fraai, maar wel van nul verschillend getal gekregen. De matrix heeft dus rang vier, ze bevat geen enkele lineair afhankelijke rij.

Voorbeeld met een parameter

Wat is de rang van de matrix A afhankelijk van de parameter q?

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)$$

Dit is een wat ingewikkelder opgave, omdat we daar een parameter q hebben. We moeten uitzoeken bij welke waarden van q de matrix maximale rang heeft, als dat al kan, en bij welke een lagere. We gaan klassiek te werk, alleen rekenen we af en toe in plaats van met concrete waarden met de abstracte q. In de eerste stap verplaatsen we de parameter q naar een mooiere plek, namelijk helemaal rechtsonder. We verwisselen dus de tweede rij met de derde en vervolgens de eerste kolom met de laatste:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ 4& 1& 3\\ q& 5& 8\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)$$

Nu hebben we de parameter op een geschikte plek gekregen, waar hij niet veel zal storen. In de eerste kolom staan echter nogal onhandige getallen, maar precies in het midden hebben we een één: die verplaatsen we naar linksboven, dat wil zeggen: we verwisselen de eerste en de tweede rij en de eerste en de tweede kolom:

$$\left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}3& 1& 4\\ 17& 8& 1\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Nu is het een mooie matrix geworden. We vermenigvuldigen de eerste rij met −8 en tellen die op bij de tweede rij:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

We vermenigvuldigen de eerste rij met −5 en tellen die op bij de derde rij:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)$$

Prima, de eerste kolom hebben we zoals we die nodig hebben. Nu tellen we het −1-voud van de tweede rij op bij de derde:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& 0& q+11\end{array}\right)$$

En we zijn aan het eind van de operaties met de matrix. We zien dat de eerste en de tweede rij zeker lineair onafhankelijk zijn. De derde rij kan echter lineair afhankelijk zijn. De rij is lineair afhankelijk als ze helemaal nul is, dus als we de parameter q zo kiezen dat de uitdrukking q + 11 gelijk is aan nul. Er geldt duidelijk dat als q = −11, de rij nul is en de rij dus lineair afhankelijk is.

Dus het eindoordeel: voor q = −11 heeft de matrix rang twee, anders heeft ze rang drie.