Vectorruimten

Een vectorruimte, soms ook lineaire ruimte genoemd, is een verzameling elementen die aan bepaalde eigenschappen moeten voldoen, waardoor de elementen van deze verzameling, die we vectoren noemen, zich “mooi” gedragen.

Voorbeeld van een vectorruimte

Voordat we een vectorruimte definiëren, laten we een voorbeeld van een vectorruimte zien die je al van de middelbare school zou moeten kennen, alleen weet je niet dat het een vectorruimte is. Het zijn de klassieke vectoren in het vlak.

Onder een vector in het vlak verstaan we een geordend paar (a, b), waarbij a, b ∈ ℝ. Dat zijn willekeurige coördinaten in de ruimte ℝ² (daarmee wordt het cartesisch product ℝ × ℝ bedoeld). Zo'n vector kunnen we voorstellen met een pijl van het punt (0, 0) naar het punt (a, b). De vector (2, 3) zou er zo uitzien:

We weten dat we vectoren kunnen optellen volgens de regel (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). De som van de vectoren (2, 3) + (4, 1) zou gelijk zijn aan de vector (2 + 4, 3 + 1) = (6, 4). Grafisch zouden we dat zo voorstellen:

Tegelijk kunnen we het k-voud van een vector berekenen, waarbij k een reëel getal is. Het k-voud schrijven we als k · (a, b). Het resultaat is een nieuwe vector, die is gedefinieerd als k · (a, b) = (k · a, k · b). Grafisch komt dat erop neer dat de vector “uitgerekt” of “ingekort” wordt of van richting verandert. Als we de vector u = (2, 3) hebben, dan zien de vectoren 2 · u, $\frac{1}{2}u$ en −1 · u er zo uit:

Dat de verzameling van alle vectoren ℝ² met de zo gedefinieerde bewerkingen een vectorruimte vormt, bewijzen we later. Eerst definiëren we de vectorruimte en aan de hand van deze vectorruimte ℝ² laten we de afzonderlijke eigenschappen zien.

Definitie van een vectorruimte

Een vectorruimte (of ook lineaire ruimte) is een niet-lege verzameling V, waarvan we de elementen vectoren noemen. Verder moeten er op de verzameling twee bewerkingen bestaan: het optellen van vectoren, dus een afbeelding V × V ⟶ V, en het vermenigvuldigen van een vector met een reëel getal, dus een afbeelding ℝ × V ⟶ V. (Algemener kun je in plaats van de verzameling van de reële getallen elk lichaam gebruiken, maar daarover in latere artikelen.) Het optellen van vectoren noteren we met het teken +, het vermenigvuldigen met ·. Deze twee bewerkingen moeten aan de volgende voorwaarden voldoen. Dat wil zeggen: voor alle x, y, z ∈ V en voor alle a, b ∈ ℝ moet gelden (merk op dat de vectoren x, y, z vetgedrukt zijn, terwijl de getallen a, b gewoon gedrukt zijn):

1. x + y = y + x: het optellen van vectoren is commutatief. Als we teruggaan naar het voorbeeld met vectoren in ℝ², dan maakt het niet uit of we de vectoren zo optellen (2, 3) + (4, 1) of andersom: (4, 1) + (2, 3) .

• (x + y) + z = x + (y + z): het optellen van vectoren is associatief. Ook hier kunnen we wat vectoren uit ℝ² invullen en zullen we zien dat het klopt.
• a · (b · x) = (a · b) · x: de associatieve wet van het vermenigvuldigen. Voor onze vectoren geldt dat 4 · (5 · (6, 7)) hetzelfde is als (4 · 5) · (6, 7). Beide voorbeelden leiden tot de vector (20 · 6, 20 · 7).
• a · (x + y) = a · x + a · y: de distributieve wet voor vectoren uit V. Ook hier zien we dat 2 · ((2, 3) + (4, 5)) hetzelfde is als 2 · (2, 3) + 2 · (4, 5). Beide uitdrukkingen leiden tot de vector (2 · 6, 2 · 8).
• (a + b) · x = a · x + b · x: distributiviteit van het optellen van getallen.
• 1 · x = x: als we een willekeurige vector met het reële getal 1 vermenigvuldigen, verandert de waarde van de vector niet. In ons geval geldt dat 1 · (5, 8) = (5, 8).
• Er bestaat een element 0 ∈ V zodat 0 · x = 0. De vetgedrukte nul, dus 0, is de zogenaamde nulvector, terwijl de niet-vetgedrukte nul 0 gewoon het getal nul is. Dit punt zegt dat er in V een vector moet bestaan die we krijgen door een willekeurige vector x ∈ V met het getal nul te vermenigvuldigen. Voor onze ruimte ℝ² is dat de vector (0, 0), want voor alle vectoren (a, b) ∈ ℝ² geldt dat 0 · (a, b) = (0, 0).

Dit zijn alle eigenschappen waaraan een vectorruimte (lineaire ruimte) V moet voldoen. Als we een vector met een reëel getal a vermenigvuldigen, dan noemen we dit getal a een scalair. We spreken dus vaak over vermenigvuldigen met een scalair en bedoelen daarmee een uitdrukking van de vorm a · x, waarbij a een reëel getal is en x een vector.

Dubbele betekenis van het plusteken +

Let op: in sommige uitdrukkingen kan het plusteken + een dubbele betekenis hebben. Bijvoorbeeld bij het punt distributiviteit van het optellen van getallen hebben we de vergelijking (a + b) · x = a · x + b · x. Daarbij telt het teken + aan de linkerkant van de vergelijking reële getallen op, omdat zowel a als b reële getallen zijn, terwijl het aan de rechterkant vectoren optelt, omdat het resultaat van het product a · x een vector is.

Deze automatische herkenning wordt in de wiskunde vaak gebruikt — uit de context is altijd duidelijk welke optelling bedoeld is. Als we de uitdrukking x + y hebben en x, y zijn vectoren, gebruiken we de vectorsom. Als x, y getallen waren, zouden we de klassieke som gebruiken. Als het matrices waren, zouden we de matrixsom gebruiken, enzovoort.

We zouden voor het optellen van vectoren een ander teken kunnen gebruiken, bijvoorbeeld ⊕. Dan zouden we de distributiviteit van het optellen van getallen zo kunnen schrijven: (a + b) · x = a · x ⊕ b · x. Het gewone + staat hier voor het optellen van de reële getallen a, b, het teken ⊕ staat voor het optellen van vectoren. Meestal wordt echter voor beide soorten optelling één teken + gebruikt en wordt de betekenis uit de context herkend. Hetzelfde geldt voor het teken ·.

Vectorruimte R²

In het eerste deel hebben we de vectorruimte V = ℝ² gedefinieerd, nu bewijzen we dat het echt om een vectorruimte gaat. Als eerste moeten we controleren of we de bewerkingen optellen en vermenigvuldigen goed hebben gedefinieerd. Het optellen moet twee vectoren optellen en het resultaat moet een nieuwe vector zijn. Dat is voldaan, want (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Door twee vectoren uit ℝ² op te tellen ontstaat een nieuwe vector uit ℝ².

Als we bijvoorbeeld het optellen van vectoren zouden definiëren als de som van hun lengtes, zou dat geen geldige bewerking van optellen in een vectorruimte zijn. De lengte van de vector (a, b) zouden we berekenen als $\sqrt{a^2+b^2}$. Het resultaat van de som (3, 4) + (5, 12) zou dus het getal $\sqrt{3^2+4^2}+\sqrt{5^2+{12}^2}=5+13=18$ zijn, en dat is geen vector van de ruimte ℝ².

Verder moeten we controleren of we het vermenigvuldigen goed hebben gedefinieerd. Het vermenigvuldigen vermenigvuldigt een reëel getal met een vector uit ℝ² en het resultaat moet een nieuwe vector uit ℝ² zijn. Dat is weer voldaan, want de vermenigvuldiging met een scalair hebben we gedefinieerd als k · (a, b) = (k · a, k · b).

Achtereenvolgens controleren we alle 7 eigenschappen waaraan een vectorruimte moet voldoen. Voor de afzonderlijke vectoren x, y vullen we onze vectoren (a, b), (c, d), … in, zoals het uitkomt, schrik daar niet van.

1. x + y = y + x, commutativiteit van het optellen van vectoren. Is ons gedefinieerde optellen van vectoren commutatief? Ja, want het is gedefinieerd als (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Als we aan de linkerkant de vectoren verwisselen, krijgen we: (c, d) + (a, b) = (c + a, d + b). Omdat c + a de som van twee reële getallen is en de som van reële getallen een commutatieve bewerking is, geldt dat c + a = a + c en hetzelfde voor het tweede paar: d + b = b + d. Er geldt dus dat (a + c, b + d) = (c + a, d + b).

• (x + y) + z = x + (y + z). Dit wordt een soort spelen met haakjes. In wezen gaat het om eenvoudige omvormingen, alleen zullen ze onoverzichtelijk zijn, omdat er gewoon te veel haakjes in staan. We proberen deze som van vectoren te berekenen:

$$((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c,b+d)+(e,f)=((a+c)+e,(b+d)+f)$$

Omdat a, c, e reële getallen zijn en het optellen op de reële getallen associatief is, geldt dat (a + c) + e = a + c + e. Hetzelfde voor de tweede coördinaat. We kunnen dus schrijven dat

$$((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c+e,b+d+f)$$

Nu proberen we dezelfde vectoren op te tellen met anders geplaatste haakjes:

$$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a,b)+(c+e,d+f)=(a+(c+e),b+(d+f))$$

Ook hier geldt dat a + (c + e) = a + c + e, dus we kunnen schrijven dat

$$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a+c+e,b+d+f)$$

We zien dus dat hoe we de som van drie vectoren ook tussen haakjes zetten, we altijd bij dezelfde vector (a + c + e, b + d + f) uitkomen. De bewerking optellen in ℝ² is dus associatief en voldoet ook aan de tweede eigenschap van vectorruimten.

Je kunt proberen voor de variabelen a, …, f concrete getallen in te vullen en je zult zien dat het klopt.

• a · (b · x) = (a · b) · x. Eerst schrijven we weer de linkerkant van de vergelijking uit, waarbij we voor x de vector (c, d) invullen:

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=a\cdot (b\cdot c,b\cdot d)=(a\cdot (b\cdot c),a\cdot (b\cdot d))$$

Omdat het vermenigvuldigen van reële getallen associatief is, krijgen we de gelijkheid a · (b · c) = a · b · c. We kunnen dus schrijven:

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=(a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d)$$

Nu schrijven we de rechterkant van de vergelijking uit, dus de kant (a · b) · x:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=((a\cdot b)\cdot c,(a\cdot b)\cdot d)$$

Ook hier geldt dat (a · b) · c = a · b · c, dus:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=(a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d)$$

We zien dat beide kanten van de vergelijking leiden tot de resulterende vector (a · b · c, a · b · d), dus de vergelijking klopt.

• a · (x + y) = a · x + a · y. De werkwijze is dezelfde, we schrijven de linkerkant van de vergelijking uit:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=a\cdot \left((c+e,d+f)\right)=(a\cdot (c+e),a\cdot (d+f))$$

Omdat a, c, e reële getallen zijn, waarin de distributieve wet geldt, krijgen we de gelijkheid: a · (c + e) = ac + ae. We kunnen dus schrijven:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=(ac+ae,ad+af)$$

De rechterkant van de vergelijking:

$$a\cdot (c,d)+a\cdot (e,f)=(ac,ad)+(ae,af)=(ac+ae,ad+af)$$

We zien dat de linker- en de rechterkant van de vergelijking na omvormen aan elkaar gelijk zijn.

• (a + b) · x = a · x + b · x: We gaan heel vergelijkbaar te werk als in de vorige stap. Omvorming van de linkerkant van de vergelijking:

$$(a+b)\cdot (c,d)=((a+b)\cdot c,(a+b)\cdot d)=(ac+bc,ad+bd)$$

De rechterkant:

$$a\cdot (c,d)+b\cdot (c,d)=(ac,ad)+(bc,bd)=(ac+bc,ad+bd)$$

• 1 · x = x: Ik geloof eigenlijk niet dat iemand het tot dit punt heeft uitgelezen, maar goed, we gaan door :-). Dit punt is tenminste eenvoudig. We moeten controleren dat 1 · (a, b) = (a, b). Dat geldt zeker, want

$$1\cdot (a,b)=(1\cdot a,1\cdot b)=(a,b)$$

• Er bestaat een element 0 ∈ ℝ² zodat 0 · x = 0: het is de vector (0, 0). Daarvoor geldt dat 0 · (a, b) = (0, 0), want

$$0\cdot (a,b)=(0\cdot a,0\cdot b)=(0,0)$$

Grootte van vectorruimten

Wat is de kleinste vectorruimte? Uit de definitie weten we dat een vectorruimte een niet-lege verzameling V is, dus de kleinst mogelijke grootte waaraan we kunnen denken is een verzameling met één vector. Uit het zevende punt van de definitie weten we dat de ruimte de nulvector moet bevatten. De verzameling V = {0} is dus een kandidaat voor de kleinste vectorruimte.

Het optellen kunnen we definiëren als 0 + 0 = 0 en het vermenigvuldigen als a · 0 = 0. Wat we ook doen, we krijgen altijd de nulvector. Deze eenpuntsverzameling zal duidelijk alle zeven vereiste eigenschappen hebben.

We weten al dat er een eenpuntsvectorruimte bestaat. Bestaat er een vectorruimte met twee elementen? Kunnen we op de verzameling V = {x, 0} de bewerkingen optellen en vermenigvuldigen zo definiëren dat er een vectorruimte uit voortkomt?

Het antwoord is nee, een vectorruimte met twee elementen bestaat niet. En er bestaat ook geen enkele andere eindige vectorruimte behalve de genoemde met één element. Alle andere vectorruimten zijn oneindig. Als we echter, zoals is aangeduid, in plaats van de verzameling van de reële getallen een ander, eindig, lichaam zouden gebruiken, zouden we ook een andere eindige vectorruimte kunnen krijgen.

Samenvatting

De definitie van vectorruimten is niet helemaal eenvoudig, de vectoren en bewerkingen moeten in totaal aan 7 voorwaarden voldoen, en dat is niet weinig. Aan de andere kant zijn die voorwaarden vrij triviaal en begrijpelijk — ze zijn erop gericht dat je goed met vectoren kunt werken. Dankzij de gedefinieerde voorwaarden kunnen we vectoren uit een vectorruimte optellen zonder te hoeven controleren of het resultaat van het optellen misschien een vector uit een andere vectorruimte is. Net zo kunnen we een vector met een reëel getal vermenigvuldigen en krijgen we altijd een vector uit dezelfde ruimte. Dat vectoren en hun bewerkingen zich houden aan de commutatieve, associatieve en distributieve wetten is ook vrij natuurlijk.

We zouden de vectorruimte ook algemener kunnen definiëren. In plaats van de verzameling van de reële getallen kunnen we elk lichaam nemen. Daarover echter in latere artikelen.