Matrices

Een matrix over een lichaam P is een afbeelding {1, 2, …, n} × {1, 2, …, m} → P. Een matrix wordt meestal aangeduid met hoofdletters: A = (…). En nu in gewoon Nederlands.

Basisbegrippen

Een matrix is gewoon een soort tabel met n kolommen en m rijen, waarbij deze aanduiding van rijen en kolommen niet altijd hetzelfde hoeft te zijn, let daarop. In elke cel van de tabel staat dan een getal of een andere uitdrukking. Een matrix hoeft niet puur uit getallen te bestaan, ook al kom je in het begin waarschijnlijk geen andere matrices tegen. Zo kan een matrix er dus uitzien:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 51 \end{array})$

Deze matrix heeft twee rijen en drie kolommen. De elementen van de matrix noteren we met indices en in plaats van een hoofdletter gebruiken we een kleine letter: a₁₁ = 0 of a₂₃ = 51. De eerste index geeft de rij aan en de tweede index de kolom.

Bijzondere typen matrices

Matrices kunnen verschillende eigenschappen hebben en sommige bijzondere matrices hebben zelfs hun eigen naam.

Een vierkante matrix is een matrix met evenveel rijen als kolommen. Is een matrix niet vierkant, dan is hij rechthoekig. Voorbeeld van een vierkante matrix:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})$

De nulmatrix is een matrix met op alle plaatsen nullen. a_ij = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

De eenheidsmatrix is een vierkante matrix met op de hoofddiagonaal enen en overal elders nullen. De hoofddiagonaal is als het ware de “diagonaal” van links naar rechts. Het zijn gewoon de getallen op de plaatsen waar i = j.

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$

Een trapmatrix is een matrix met nulrijen aan het eind (of zonder nulrijen) en waarbij elke rij die niet nul is aan het begin meer nullen heeft dan de vorige rij. Dit zijn allemaal trapmatrices:

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & π \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}), A_{3} = (\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{array})$

De getransponeerde matrix van een matrix A is de matrix A^T waarvoor geldt $a_{i j} = a_{j i}^{T}$ , dat wil zeggen: het element dat in de i-de rij en j-de kolom stond, staat in de getransponeerde matrix in de j-de rij en i-de kolom. Kortom: je verwisselt de rijen van de matrix met de kolommen.

$\begin{array}{rcl} {(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{ccc} 0 & 8 & 47 \\ 1 & 5 & 154 \\ 5 & 23 & 2 \end{array}) \\ {(\begin{array}{ccc} 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{cc} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{array}) \end{array}$

Een symmetrische matrix is een vierkante matrix A die voldoet aan de gelijkheid A = A^T. Elementen die ten opzichte van de diagonaal symmetrisch liggen, zijn gelijk. We kunnen dus schrijven dat a_ij = a_ji.

$A = (\begin{array}{ccc} 9 & 3 & 4 \\ 3 & 7 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{array})$

Een antisymmetrische matrix is bijna hetzelfde als een symmetrische matrix, alleen hebben de elementen aan de andere kant het tegengestelde teken: A = −A^T. Daarom moeten de elementen op de hoofddiagonaal nul zijn, want a = −a = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & - 3 & - 4 \\ 3 & 0 & 5 \\ 4 & - 5 & 0 \end{array})$

Een diagonaalmatrix is een matrix met nullen overal behalve op de hoofddiagonaal. Preciezer gezegd: overal elders moeten nullen staan, wat er op de hoofddiagonaal staat is niet gespecificeerd.

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

Basisbewerkingen met matrices

Matrices kunnen we optellen, we kunnen ze met een getal vermenigvuldigen en we kunnen ook matrices met elkaar vermenigvuldigen.

Matrices optellen is vrij intuïtief. Als de matrices van hetzelfde type zijn (= hetzelfde aantal kolommen en rijen), heeft de uitkomstmatrix op dezelfde plaatsen de sommen van de getallen op de overeenkomstige plaatsen in de vorige matrices. Als we dus matrices optellen A + B = C, dan geldt a_ij + b_ij = c_ij.

$(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) + (\begin{array}{ccc} 5 & 4 & 3 \\ 10 & 20 & 30 \\ 7 & - 54 & - 12 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 5 & 5 & 8 \\ 18 & 25 & 53 \\ 54 & 100 & - 10 \end{array})$

Het optellen van matrices is duidelijk commutatief en associatief. A + B = B + A en A + (B + C) = (A + B) + C.

Een matrix met een getal vermenigvuldigen is ook intuïtief. Je neemt het getal en vermenigvuldigt daarmee elk element van de matrix, niets meer. k · A = k · a_ij.

$5 \cdot (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 0 & 5 & 25 \\ 40 & 25 & 115 \\ 235 & 770 & 10 \end{array})$

Matrices vermenigvuldigen

Matrices vermenigvuldigen is al wat lastiger, want het is niet meer zo intuïtief als je zou verwachten. Het is niet genoeg om alleen de overeenkomstige elementen te vermenigvuldigen. Allereerst moeten de matrices voldoen aan het criterium dat het aantal kolommen van de eerste matrix gelijk moet zijn aan het aantal rijen van de tweede matrix. De rest mag willekeurig zijn. Nu kunnen we het product definiëren (n is het aantal kolommen van de eerste matrix):

$(A \cdot B)_{i j} = \sum_{p = 1}^{n} a_{i p} \cdot b_{p j}$

Dat is wat, hè? Nu probeer ik het ook uit te leggen aan de wat minder snelle denkers :-). Je neemt de eerste rij van de eerste matrix en de eerste kolom van de tweede matrix. Nu vermenigvuldig je het eerste element met het eerste element en telt daarbij het product van het tweede element met het tweede element op, enzovoort. Zo krijg je in de nieuwe matrix C het element c₁₁. Het allerbeste is een voorbeeld. We vermenigvuldigen deze twee matrices:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

Nu kiezen we de eerste rij van de eerste matrix en de eerste kolom van de tweede matrix:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

Voor een overzichtelijke notatie noemen we de nieuw ontstane matrix C. Als we het eerste element van deze matrix willen krijgen, moeten we dit berekenen: c₁₁ = a₁₁ · b₁₁ + a₁₂ · b₂₁. Let op: op de eerste plaats van de index staat de rij, daarna de kolom. Na invullen krijgen we: 1 · 5 + 2 · 7 = 19. Het eerste element heeft de waarde 19:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & ? \\ ? & ? \end{array})$

Het volgende element, c₁₂, krijgen we op dezelfde manier, alleen nemen we de eerste rij en de tweede kolom. Met deze langdurige berekening krijgen we altijd het element dat ze gemeenschappelijk hebben. De eerste rij en de eerste kolom hebben een gemeenschappelijk element op de plaats c₁₁, de eerste rij en de tweede kolom op de plaats c₁₂. Dat laat de volgende afbeelding mooi zien:

Product van matrices

Nu vermenigvuldig ik snel de rest van de matrix:

$\begin{array}{rcl} c_{12} & = & a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22. \\ c_{21} & = & a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43. \\ c_{22} & = & a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50. \end{array}$

Deze getallen schrijven we nog maar op in de matrix:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{array})$

De juistheid van het resultaat kun je bijvoorbeeld controleren in Excel of in LibreOffice Calc, die functies voor het werken met matrices bevatten.

Nu nog wat algemene informatie over het vermenigvuldigen van matrices. Allereerst is het vermenigvuldigen van matrices niet commutatief. In het algemeen geldt niet dat A · B = B · A, al kan dat geval natuurlijk voorkomen. Maar het vermenigvuldigen van matrices is wel associatief. Met de optelling is het zelfs distributief: A (B + C) = AB + AC. Als we twee matrices vermenigvuldigen a_ix · b_xn, dan is de uitkomstmatrix van het type i × n (hij heeft evenveel rijen als de eerste matrix rijen heeft en evenveel kolommen als de tweede matrix kolommen heeft).

Voorbeelden

We hebben de volgende drie matrices gegeven:

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}), C = (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) .$

Bereken het product van de matrices A · B.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 36 & 41 & 43 \\ 90 & 98 & 106 \\ 144 & 155 & 169 \end{array})$

Bereken het product van de matrices B · A.

Let op: het vermenigvuldigen van matrices is niet commutatief, dus we kunnen zeker niet met zekerheid zeggen dat de uitkomst hetzelfde is als in het vorige geval. We moeten het gewoon helemaal opnieuw berekenen:

$(\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 68 & 82 & 96 \\ 86 & 112 & 138 \\ 87 & 105 & 123 \end{array})$

Bereken het product van de matrices A · C en C · B.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 28 & 14 \\ 67 & 50 \\ 106 & 86 \end{array})$

Het tweede voorbeeld kunnen we niet berekenen, omdat het aantal kolommen van de eerste matrix verschilt van het aantal rijen van de tweede matrix.

Elementaire matrixoperaties

Om efficiënt met matrices te kunnen werken, moeten we een paar elementaire matrixoperaties definiëren. Allereerst kunnen we een rij/kolom van de matrix met een getal ongelijk aan nul vermenigvuldigen. Het vermenigvuldigen werkt hetzelfde als het k-voud van een matrix, maar dan alleen in die ene rij/kolom.

De tweede operatie is het optellen van het k-voud van de j-de rij bij de i-de rij. Hetzelfde voor kolommen. Het klinkt een beetje eng, maar is in werkelijkheid eenvoudig. We laten het zien voor k = 1. We hebben deze matrix:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Nu tellen we de tweede rij bij de eerste rij op. We nemen dus de tweede rij en tellen de getallen op de overeenkomstige plaatsen op bij de getallen uit de eerste rij. Met de getallen uit de tweede rij gebeurt niets, alleen de eerste rij verandert:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Nu kunnen we doorgaan met de operaties. Nu proberen we het dubbele van de eerste rij bij de derde rij op te tellen. We nemen de eerste rij van deze nieuw ontstane matrix, vermenigvuldigen die met twee, waardoor we de rij (10, 14, 18) krijgen, en tellen deze getallen op bij de derde rij. Weer — de eerste rij verandert niet, alleen de derde rij verandert:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 17 & 22 & 27 \end{array})$

Nu tellen we bij de derde rij weer de som van de eerste en de tweede rij op. In wezen is dat niets nieuws, want als we bij de derde rij eerst de tweede rij en daarna de eerste rij optellen, moeten we op hetzelfde resultaat uitkomen. De som van de eerste en de tweede rij is: (5, 7, 9) + (4, 5, 6) = (9, 12, 15). De som van deze rij met de derde rij is dan: (9, 12, 15) + (17, 22, 27) = (26, 34, 42).

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 26 & 34 & 42 \end{array})$

En nog een kolomoperatie (die worden meestal niet zo vaak gebruikt, omdat ze minder overzichtelijk zijn). We tellen de eerste kolom bij de tweede kolom op:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 4 & 9 & 6 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

En helemaal als laatste vermenigvuldigen we de tweede rij met twee:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 8 & 18 & 12 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

Lineaire afhankelijkheid

Nu leggen we nog uit wat afhankelijke rijen/kolommen zijn. Een rij is lineair afhankelijk als deze rij kan worden uitgedrukt als lineaire combinatie van de andere rijen van de matrix. Kortom: als je de rijen op verschillende manieren kunt optellen zodat je uiteindelijk de gezochte rij krijgt, is deze rij lineair afhankelijk. Voorbeeld:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array})$

Als je het dubbele van de eerste rij en de tweede rij neemt, krijg je de derde rij. Als je van de derde rij deze combinatie aftrekt, krijg je een nulrij (een rij met allemaal nullen). Deze rij is afhankelijk. De operaties voeren we dus zo uit (we vermenigvuldigen de eerste rij met twee, tellen die bij de tweede rij op en trekken af van de derde):

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

Als we een matrix A hebben met n rijen en A_i de i-de rij aanduidt, dan zeggen we dat de matrix geen lineair afhankelijke rij bevat als:

$α_{1} A_{1} + α_{2} A_{2} + \dots + α_{n} A_{n} = 0$

precies dan als α₁, α₂, …, α_n = 0. De nul aan de rechterkant van de vergelijking stelt de nulrij voor. Dat wil zeggen: als de enige oplossing van deze vergelijking de triviale oplossing (allemaal nul) is. Als we een andere oplossing vinden, dan bevat de matrix een lineair afhankelijke rij. Net zo voor kolommen. Voor de voorgaande matrix zou gelden:

$\begin{array}{rcl} 2 (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \end{array}) + 1 (\begin{array}{c} 4 & 5 & 6 \end{array}) - 1 (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = \\ = (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

De waarden van alfa zijn dus α₁ = 2, α₂ = 1, α₃ = −1.

Het aantal onafhankelijke rijen of kolommen is de rang van de matrix.

Reguliere en singuliere matrices

Een matrix heet regulier als hij maximale rang heeft (dat wil zeggen: als er geen lineair afhankelijke rij in voorkomt) en als het een vierkante matrix is. Een vierkante matrix heet singulier als hij niet regulier is (dat wil zeggen: als de matrix minstens één lineair afhankelijke rij bevat). Deze twee begrippen zijn vrij belangrijk, of liever: veel definities steunen erop. Heel veel dingen zijn alleen gedefinieerd als de matrix regulier is.

Gerelateerde artikelen

« Vorige: Tralies

Volgende: Rang van een matrix »