Inverse matrix

Een inverse matrix is een matrix die is gedefinieerd voor vierkante reguliere matrices. Als we een matrix met haar inverse matrix vermenigvuldigen, krijgen we de eenheidsmatrix.

Definitie

Een inverse matrix kan alleen van een vierkante matrix worden berekend, voor een rechthoekige matrix is de inverse matrix niet gedefinieerd. De inverse matrix van een matrix A (genoteerd A⁻¹) bestaat bovendien alleen als de matrix regulier is (geen lineair afhankelijke rijen heeft). Deze matrix is dan eenduidig bepaald. De twee hoofdeigenschappen van de inverse matrix zijn:

$$(A^{-1}{)}^{-1}=A$$

En vooral de belangrijkste eigenschap van de inverse matrix (die tegelijk ook de definitie van de inverse matrix is):

$$A\cdot A^{-1}=E$$

E is de eenheidsmatrix.

Hoe bereken je de inverse matrix?

En nu de rekenmethode voor de inverse matrix. Het eenvoudigste algoritme is de eliminatiemethode van Gauss: je herleidt de matrix A tot de eenheidsmatrix, schrijft naast deze matrix de eenheidsmatrix op en voert op die matrix dezelfde operaties uit als op de matrix A. Aan het eind van het rekenproces heb je links de matrix A herleid tot de eenheidsmatrix en rechts de inverse matrix. We proberen het uit met een eenvoudig voorbeeld:

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

Bij een vluchtige blik zien we dat de matrix regulier is, dus het heeft zin om de inverse matrix te berekenen. Als we de inverse matrix berekenen, schrijven we dat meestal op in de vorm:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 3& 4& 0& 1\end{array}\right)$$

Nu herleiden we die linkermatrix tot de eenheidsmatrix en voeren we identieke operaties uit op de rechtermatrix. We tellen het −3-voud van de eerste rij op bij de tweede. Eerst de linkermatrix:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& 0& 1\end{array}\right)$$

Nu tellen we het −3-voud van de eerste rij van de rechtermatrix op bij de tweede rij van de rechtermatrix:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Nu moeten we een nul krijgen op de positie a₁₂. Het is genoeg om de tweede rij bij de eerste rij op te tellen. Nu voer ik beide operaties in één stap uit:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

En nu werken we die min twee weg door de hele rij door min twee te delen:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& 1& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

De resulterende inverse matrix is:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Als je wilt controleren of de berekende inverse matrix klopt, vermenigvuldig je die met de oorspronkelijke matrix:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

Ter controle kun je kijken op WolframAlpha.

Berekening met behulp van de determinant

De inverse matrix kunnen we ook berekenen met behulp van de determinant. Als we een reguliere matrix A hebben, dan heeft de inverse matrix A⁻¹ elementen $a_{ij}^{-1}$ die gelijk zijn aan:

$$a_{ij}^{-1}=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{j,i}\right|}{\left|A\right|}$$

Aan de linkerkant hebben we i,j, maar in de teller hebben we j,i, let daarop, het is geen fout dat het zo is omgewisseld. In de teller hebben we de matrix A_j,i, een deelmatrix van de matrix A die we krijgen door uit de matrix A de j-de rij en de i-de kolom weg te laten. Dus als

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),$$

dan geldt:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{ccc}\text{⧸}1& \text{⧸}2& \text{⧸}3\\ \text{⧸}4& 5& 6\\ \text{⧸}7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right),A_{1,3}=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right),A_{2,2}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right)$$

Als je het niet prettig vindt dat de indices daar omgekeerd staan, kunnen we het ook zo schrijven:

$$(a_{ij}^{-1}{)}^T=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{i,j}\right|}{\left|A\right|}$$

Oftewel: als je de indices niet omwisselt, bereken je de getransponeerde inverse matrix. Als je deze getransponeerde matrix weer transponeert, krijg je de inverse matrix.

Rekenen met deze methode is meestal omslachtig, ze is vooral geschikt voor machinale verwerking, omdat ze heel rechttoe rechtaan is. In het voorbeeld proberen we maar twee getallen te berekenen. We hebben dus deze matrix:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 5\\ 2& -3& 1\\ 3& -5& -1\end{array}\right)$$

Eerst berekenen we de determinant van deze hele matrix, die wordt gebruikt in de noemer van de breuk:

$$det(A)=-1$$

Nu berekenen we het eerste element van de inverse matrix. We noemen het $a_{11}^{-1}$. Dat is gelijk aan:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+1}\cdot \left|A_{1,1}\right|}{\left|A\right|}$$

We hebben de deelmatrix A_1,1 nodig. Door de eerste rij en de eerste kolom weg te laten krijgen we:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ -5& -1\end{array}\right)$$

Nu moeten we de determinant van deze matrix berekenen:

$$det(A_{1,1})=8$$

En nu kunnen we helemaal invullen in de formule:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^2\cdot 8}{-1}=\frac{1\cdot 8}{-1}=-8$$

En we hebben het eerste resultaat van de inverse matrix.

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& ?& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Het tweede getal krijgen we zo:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+2}\cdot \left|A_{2,1}\right|}{\left|A\right|}$$

De determinant van de deelmatrix is gelijk aan

$$det(A_{2,1})=\left|\begin{array}{cc}-4& 5\\ -5& -1\end{array}\right|=29$$

En door alles in te vullen krijgen we:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^3\cdot 29}{-1}=\frac{-1\cdot 29}{-1}=\frac{-29}{-1}=29$$

Het volgende stukje van de puzzel:

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& 29& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Enzovoort, enzovoort.