Mengder

En mengde kan forstås som en samling av elementer. Hver mengde inneholder dermed et visst antall elementer, som kan være endelig eller uendelig. Den kan også være uten elementer, og da snakker vi om den tomme mengden. Mengder skrives vanligvis med en stor bokstav, for eksempel M, og elementene i mengden med en liten bokstav m.

Hva er en mengde?

Mengde er et av de grunnleggende begrepene i matematikken, og mange andre ting defineres ved hjelp av det. Det er derfor greit å bli enig om hva en mengde er helt fra begynnelsen, slik at du ikke famler videre i læringen.

En mengde er altså en samling av vilkårlige elementer. I matematikken jobber vi oftest med tallmengder, altså mengder der elementene er tall. Den vanlige skrivemåten for en mengde i matematikken er denne:

$$M=\{1,2,3\}$$

Her har vi beskrevet en mengde med navnet «M» som inneholder tre elementer: 1, 2 og 3. Mengder skriver vi alltid i krøllparentes, og nesten alltid når du ser krøllparenteser, er det snakk om en mengde.

Hva kan vi bruke mengder til? Mengder bestemmer ofte hvilke elementer vi kan velge mellom. I hverdagen kunne du for eksempel si noe slikt som «Ingrid, skal vi leke en lek? Tenk på et tall fra én til fem.» Da har du gitt Ingrid et utvalg av tall hun kan velge mellom. I matematikken ville du brukt en mengde:

$$L=\{1,2,3,4,5\}$$

Og så kunne du si til Ingrid: «Ingrid, skal vi leke en lek? Tenk på et tall som er element i mengden L.» Leken ville sikkert blitt morsommere med en gang. I matematikken bruker vi tegnet ∈ for å skrive at et element tilhører en mengde, og ∉ når det ikke tilhører den. Hvis vi vil si at 1 tilhører mengden L, men 7 ikke gjør det, skriver vi 1 ∈ L og 7 ∉ L.

En mengde kan selvsagt være tom. Da skriver vi enten P = {} eller enklere P = ∅. Pass på at begge skrivemåtene betyr «den tomme mengden». Hvis du skriver P = {∅}, skriver du en mengde som inneholder den tomme mengden. Det er ikke det samme som den tomme mengden.

Rekkefølge og gjentakelser

Om en mengde sier vi ikke at elementene er ordnet på noen bestemt måte. En mengde inneholder en uordnet samling av elementer. Hvis vi har to mengder A = {1, 2, 3} og B = {3, 2, 1}, sier vi at de er like. Rekkefølgen på elementene i mengden spiller rett og slett ingen rolle.

På samme måte er vi ikke opptatt av gjentatte elementer. Hvis en mengde inneholder flere like elementer (flere like tall), regner vi alltid bare ett tilfelle av elementet. Igjen: hvis vi har disse to mengdene A = {1, 1, 2, 2, 2} og B = {2, 1}, regner vi dem som like. Det gjør ikke noe at mengden A ser ut til å inneholde «flere» elementer fordi den har doble eller tredoble elementer. Når vi regner med mengder, fjerner vi bare de gjentatte elementene.

Størrelse og likhet

Vi kan definere begrepet størrelse på en mengde, som er antall elementer i mengden. Med eksemplet ovenfor, A = {1, 1, 2, 2, 2} og B = {2, 1}, ville størrelsen på mengden A være to, men størrelsen på mengden B er også to, for heller ikke når vi teller elementene i en mengde, bryr vi oss om gjentakelser. Størrelsen på en mengde skriver vi med loddrette streker: |A| = |B| = 2.

Som du sikkert har forstått, er to mengder like hvis begge mengdene har de samme elementene. Noen eksempler:

$$\begin{array}{rcl}\{1,2,3\}& =& \{1,2,3\}\\ \{1,2,3\}& =& \{1,2,3,2,3,1\}\\ \{a,h,o,j\}& =& \{o,o,h,j,a,o\}\\ \{1,3,5,9\}& \ne & \{1,3,9\}\\ \mathrm{\varnothing }& \ne & \left\{x\right\}\end{array}$$

En viktig egenskap er at mengder kan ha en mengde som element. Eksempel: C = {1, 2, {3, 4, 5, 6}}. Det er viktig å være klar over at mengden C har tre elementer, ikke seks. Mengden C inneholder tre elementer: 1, 2 og en mengde. Elementene 3, 4, 5 og 6 ligger i den indre mengden, ikke i mengden C. Altså gjelder |C| = 3. Et mer sammensatt eksempel:

$$D=\{0,\{1,\{2,3\}\},\left\{4\right\}\}$$

Hvor mange elementer har mengden D? Den har tre elementer, og de er disse:

$$D_1=0,D_2=\{1,\{2,3\}\},D_3=\left\{4\right\}$$

En mengde kan være endelig eller uendelig. Alle mengdene vi har nevnt så langt, er endelige. Uendelig er for eksempel mengden av alle tall.

Delmengde

La oss ta to mengder A = {1, 2} og B = {1, 2, 3}. Disse mengdene er forskjellige, for de har ikke de samme elementene, mengden B er større. Du har likevel sikkert lagt merke til at mengden B inneholder nøyaktig de samme elementene som mengden A, bare med elementet 3 i tillegg. Da kan vi si at A er en delmengde av B.

Hvis A er en delmengde av B, må alle elementene i mengden A også ligge i mengden B. Å være delmengde er en relasjon, og vi skriver den med symbolet ⊆. Formell definisjon:

$$A\subseteq B\iff \mathrm{\forall }x\in A:x\in B$$

Vanligvis tillater vi at mengdene A og B kan være like, og da gjelder A ⊆ B likevel. Hvis vi vil uttrykke den strenge varianten av delmengde, bruker vi et annet symbol: ⊂. Da gjelder at hvis A ⊂ B, må mengden B være større (hvis den er endelig), og den må inneholde et element som mengden A ikke inneholder. En slik mengde kaller vi en «ekte delmengde». Hvis altså A ⊂ B, er A en ekte delmengde av B. Definisjon av ekte delmengde:

$$A\subset B\iff (A\subseteq B\wedge A\ne B)$$

Definisjonen er den samme som for vanlig delmengde, bare at de to mengdene ikke kan være like. Noen eksempler:

$$\begin{array}{rcl}\{a,h,o\}& \subseteq & \{a,h,o,j\}\\ \{a,h,o\}& \subset & \{a,h,o,j\}\\ \{2,4,6\}& \subseteq & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{2,4,6\}& \subset & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{1,2,3\}& ⊈& \{1,3\}\\ \{1,2,3\}& \not\subset & \{1,3\}\\ \{0,1\}& \subseteq & \{0,1\}\\ \{0,1\}& \not\subset & \{0,1\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \left\{0\right\}& ⊈& \mathrm{\varnothing }\\ \left\{0\right\}& \not\subset & \mathrm{\varnothing }\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subseteq & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subset & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\end{array}$$

Egenskaper ved delmengder:

• A ⊆ A: en mengde er alltid en delmengde av seg selv.
• A ⊄ A: en mengde er aldri en ekte delmengde av seg selv.
• ∅ ⊆ A: den tomme mengden er en delmengde av enhver mengde.
• A ⊄ ∅: den tomme mengden har ingen ekte delmengde.

Ved hjelp av delmengder kan vi skrive likhet mellom mengder:

$$A=B\iff A\subseteq B\wedge B\subseteq A$$

Hvis begge mengdene er like, er den ene en delmengde av den andre.

Delmengde kan også kalles «inklusjon».

Potensmengde

Potensmengden er mengden av alle delmengder av en gitt mengde. Den skrives vanligvis enten P(M) eller 2^M.

Eksempel: M = {1, 2, 3}. Hva er alle delmengdene? Den tomme delmengden og selve mengden M er med. Dessuten: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Alle disse mengdene danner potensmengden til mengden M. Vi skriver: P(M) = {∅, M, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}.

Siden den tomme mengden er en delmengde av hver mengde og M alltid er en delmengde av M, vil det alltid gjelde at ∅ ∈ P(M) og M ∈ P(M).

Hvordan skrive en mengde

Én måte har vi allerede nevnt, nemlig å liste opp elementene. Vi bruker krøllparentes: M = {1, 2, 3} eller N = {a, b, c, d} osv. Hvis vi skriver en uendelig mengde, kan vi bruke tre prikker når det er tydelig hvordan følgen av elementer fortsetter: M = {1, 2, 3, …}

Hovedmåten å skrive en mengde på er med en karakteristisk beskrivelse (mengdebygger). Generelt ser skrivemåten slik ut: {x ∈ X | P(x)}, der X er mengden vi velger elementer fra, og P(x) er et uttrykk som angir elementene i mengden. Uttrykket kan være skrevet rent matematisk eller med ord. I stedet for «|» brukes også semikolon: «;».

For eksempel: «La mengden M inneholde alle tall som angir en dag i en måned». En måned har høyst 31 dager, så en slik mengde ville ha 31 elementer, fra 1 til 31. Vi kunne skrive den med tre prikker slik: M = {1, 2, 3, …, 30, 31}. En annen skrivemåte for den samme mengden kan se slik ut: {x ∈ ℤ | x angir en dag i en måned}, der ℤ betegner mengden av heltall.

Et mer matematisk eksempel kan lyde: «La mengden P inneholde alle positive tall som er delelige med fem». Da ser mengden slik ut: P = {5, 10, 15, 20, 25,…}

La oss prøve å skrive matematisk mengden T av naturlige tall som er mindre enn ti: T = {x ∈ ℕ | x<10}. Denne skrivemåten sier: mengden T består av elementene x som vi tar fra mengden av naturlige tall, og som oppfyller betingelsen at de er mindre enn 10. Vi ser på de naturlige tallene og tar bare med dem som er mindre enn ti: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Og det var alt.

Et eksempel til: Y = {x ∈ ℤ | x ≠ 0}. Vi har definert mengden Y som inneholder elementene x som vi tar fra heltallene, og den eneste betingelsen x må oppfylle, er at det ikke kan være null. Mengden Y inneholder dermed alle heltall unntatt null.

Et eksempel til: G = {x ∈ ℝ | x · x = x}. Mengden G inneholder elementene x som vi tar fra de reelle tallene, og for alle elementene x må det gjelde at når vi ganger dem med seg selv, får vi igjen tallet x. Vi kan for eksempel prøve tallet 5. Ifølge definisjonen skal denne likheten gjelde: 5 · 5 = 5. Det gjelder åpenbart ikke, så tallet 5 er ikke element i mengden G. Vi prøver 1: 1 · 1 = 1. For det gjelder det tydeligvis, så 1 er element i mengden G. Det andre, og samtidig siste, elementet er tallet null. For ingen andre tall vil det gjelde. Vi kan skrive: G = {0, 1}.

Og til slutt et eksempel. Jeg skriver noe mer sammensatt, slik at du ser at den karakteristiske beskrivelsen også kan være komplisert:

$$X=\{x\in \mathbb{R}|(x^2=2x)\vee (\sin (x)=\pi \wedge \cos (x)=\pi )\}$$

I praksis defineres en mengde oftest ved en karakteristisk beskrivelse, og man kan si at ganske mange begreper i matematikken er definert ved hjelp av mengder. Tar vi for eksempel et intervall, kan vi si at intervallet ⟨a, b⟩ er en mengde I som oppfyller:

$$I=\{x\in \mathbb{R}|(x>a)\wedge (x<b)\}$$

Det er alle elementene i mengden av reelle tall som er større enn a og mindre enn b, og det er nettopp det intervallet uttrykker.

Flere kilder

• Wikipedia