Fakultet

Fakultet av tallet n er lik produktet av alle naturlige tall som er mindre enn eller lik n. Vi skriver fakultet med et utropstegn, n!. For null gjelder 0! = 1. Fakultet brukes først og fremst i kombinatorikk, der vi for eksempel bruker det til å regne ut permutasjoner. Fakultet av fem er for eksempel 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Definisjon av fakultet

Vi kan definere fakultet på ulike måter. Den enkleste er sannsynligvis denne:

$$n!=\{\begin{array}{ll}1& \text{hvis n = 0}\\ n\cdot (n-1)!& \text{ellers}\end{array}$$

Vi kan også gi definisjonen ved hjelp av et produkt:

$$n!=\prod _{k=1}^{n}k$$

Eller ved hjelp av et integral:

$$(z-1)!=\mathrm{\Gamma }(z):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(z)>0.$$

Regning med fakultet

Vi regner ofte med fakultet i brøker. Da bruker vi at n! = n · (n − 1)!. Dette gjelder fra definisjonen, og vi viser det med et eksempel. Vi vet at fakultet av fire, 4!, er lik produktet av disse naturlige tallene: 4 · 3 · 2 · 1. Samtidig kan vi skrive at produktet 3 · 2 · 1 er lik fakultet av tre: 3 · 2 · 1 = 3!. Fakultet av fire kan vi så skrive som 4! = 4 · 3!.

$$4!=4\cdot \underset{=3!}{\underbrace{3\cdot 2\cdot 1}}=4\cdot 3!$$

Takket være dette kan vi forkorte mange ulike fakulteter i brøker effektivt. Et eksempel: Forenkle uttrykket

$$\frac{n!}{(n-2)!}$$

Vi forenkler etter formelen vi nettopp nevnte. I telleren kan vi dele fakultetet opp i n · (n − 1)!, og dette kan vi (etter den samme formelen) dele videre opp i n · (n − 1) · (n − 2)!. Nå kan vi forkorte brøken fint:

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\boxed{\text{(n-2)!}}}{\boxed{\text{(n-2)!}}}=n(n-1)$$

Et eksempel til:

$$\begin{array}{rcl}\frac{n!\cdot (n+1)!}{(n-1)!\cdot (n+2)!}& =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+1)!}{\boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot (n+1)!}{(n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}{(n+2)\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}\\ & =& \frac{n}{n+2}\end{array}$$

Og det siste eksemplet på fakultet:

$$\begin{array}{rcl}\frac{(2(n+1))!}{(2n)!}& =& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ & =& \frac{(2n+2)(2n+1)\boxed{\text{(2n)!}}}{\boxed{\text{(2n)!}}}\\ & =& (2n+2)(2n+1)\end{array}$$