Andregradslikninger

En andregradslikning er en likning som inneholder én ukjent som er opphøyd i andre potens. Hvis likningen inneholder en ukjent som er opphøyd i en høyere potens enn to, er det ikke lenger en andregradslikning.

Beskrivelse av andregradslikningen

Grunnformen til en andregradslikning ser slik ut:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Verdiene a, b, c er reelle tall, og verdien a er forskjellig fra null. Flere navn:

ax² kalles andregradsleddet,
bx kalles førstegradsleddet,
c kalles konstantleddet.

Hver andregradslikning kan vi skrive om til grunnformen ved hjelp av ekvivalente omforminger eller ved hjelp av andre omforminger. Et eksempel på en andregradslikning kan være denne likningen:

$3 x^{2} - 6 x + 8 = 0.$

Et vanskeligere spørsmål kan være om også dette er en andregradslikning:

$(x + 1) \cdot (x + 2) = 7.$

Vi ser ingen x² noe sted, og på høyre side står det ikke null. Høyre side ordner vi enkelt, vi trekker fra sju og får formen

$(x + 1) \cdot (x + 2) - 7 = 0.$

Fortsatt har vi ingen x². Vi ganger ut parentesene og får:

$x^{2} + 2 x + x + 2 - 7 = 0$

Nå har vi x². Etter at vi har trukket sammen, får vi endelig grunnformen til andregradslikningen:

$x^{2} + 3 x - 5 = 0.$

Hva med følgende eksempel, er det en andregradslikning? Kan den skrives om til grunnformen?

$x^{2} + 3 x + \frac{4}{x} = 0$

Svaret er at det ikke går. Hvis vi nemlig ganger hele likningen med variabelen x for å bli kvitt variabelen i nevneren til brøken, får vi:

$x^{3} + 3 x^{2} + 4 = 0.$

Nå har vi x³, noe som ikke kan forekomme i en andregradslikning.

Det finnes spesielle typer andregradslikninger, avhengig av hvilke verdier koeffisientene a, b og c har.

Verdier av koeffisientene

For de videre avsnittene er det helt avgjørende at du klarer å bestemme de enkelte koeffisientene a, b og c. La oss begynne med et enkelt eksempel. Bestem koeffisientene i likningen 3x² + 4x + 7 = 0. Her er det enkelt, a = 3, b = 4 og c = 7.

Hva med for eksempel likningen 3x² − x + 2 = 0? Verdiene a og c er klare, a = 3 og c = 2, men hva med b? Det ville være en feil å skrive at b = 1. Tenk deg at det står en ener foran x, slik: 3x² − 1x + 2 = 0. Nå er det kanskje lettere å se at b = −1.

Et annet interessant eksempel: x² − 3 = 0. Her kan det igjen oppstå et problem med koeffisienten b, de andre er åpenbare: a = 1 og c = −3. Hva er verdien av koeffisienten b? Førstegradsleddet forekommer ikke i denne likningen i det hele tatt, det er det samme som om vi hadde skrevet likningen på formen x² + 0x − 3 = 0. Altså er b = 0.

Et vanskeligere eksempel:

$5 x^{2} + 3 x + π \cdot x = 0$

I denne likningen er det to feller. Det er ikke noe konstantledd, så c = 0. Andregradsleddet er klart, så a = 5. Men hva med den forbannede b? Vi kan omforme likningen litt til, vi setter variabelen x utenfor parentes i to av uttrykkene slik:

$5 x^{2} + (3 + π) x = 0$

Koeffisienten b er igjen det som står «foran» variabelen x, så hele parentesen er lik koeffisienten b = (3 + π). En lignende likning:

$- x^{2} + 4 x + 1 - \sqrt{2} = 0$

De to første koeffisientene er åpenbare: a = −1 og b = 4. Hva er konstantleddet? Det er de resterende uttrykkene uten x. Altså er $c = 1 - \sqrt{2}$ . Ikke vær redd for kvadratroten, den biter ikke, det er et helt vanlig tall.

Og hva er verdiene i denne likningen? (x + 1)(x + 2) = −2x. Først må vi skrive om likningen til grunnformen. Vi ganger ut parentesene og får

$x^{2} + 3 x + 2 = - 2 x$

og til slutt legger vi 2x til likningen for å få null på høyre side:

$x^{2} + 5 x + 2 = 0.$

Verdiene er nå åpenbare: a = 1, b = 5, c = 2.

Ren andregradslikning

Hvis b = 0, er det en ren andregradslikning, som løses på samme måte som en lineær likning. Denne likningen har altså grunnformen:

$a x^{2} + c = 0$

Siden b = 0, forsvinner hele førstegradsleddet bx fra likningen, fordi 0x = 0. Vi løser likningen ved først å trekke fra konstantleddet. Vi trekker altså verdien c fra likningen. Da får vi:

$\begin{array}{rcl} a x^{2} + c & = & 0 / - c \\ a x^{2} & = & - c \end{array}$

Videre deler vi likningen på tallet a. Vi får formen:

$x^{2} = \frac{- c}{a}$

Og til slutt tar vi kvadratroten av hele likningen. Da må brøken på høyre side ikke være negativ, for vi kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall. Vi får resultatet:

$x_{1} = \sqrt{\frac{- c}{a}}, x_{2} = - \sqrt{\frac{- c}{a}}$

Legg merke til at vi får to løsninger, én positiv og én negativ. Det blir lettere å se i et eksempel. Vi regner ut likningen

$2 x^{2} - 8 = 0.$

Ifølge framgangsmåten trekker vi først fra leddet c. Pass på at leddet c i dette tilfellet er negativt, så vi trekker fra et negativt tall, altså legger til et positivt. Vi legger altså +8 til hele likningen (målet er å få åtte over på høyre side). Vi får formen:

$2 x^{2} = 8$

Videre deler vi ifølge framgangsmåten likningen på tallet a, som er to. Etter divisjonen får vi formen:

$x^{2} = 4$

Nå tar vi kvadratroten.

$x_{1} = 2, x_{2} = - 2$

Hvorfor er også minus to med? Fordi minus to ganger minus to er fire. Vi kan også se på den grafiske løsningen: Vi ser at grafen til funksjonen 2x² − 8 skjærer x-aksen nøyaktig i punktene x₁ = −2 og x₂ = 2.

Grafisk løsning av likningen 2x^2-8=0

Løs likningen

$80 x^{2} - 5 = 0.$

Vi legger til fem på begge sider:

$80 x^{2} = 5$

Vi deler på 80:

$x^{2} = \frac{5}{80}$

Vi forkorter brøken:

$x^{2} = \frac{1}{16}$

Vi tar kvadratroten:

$x_{1} = \frac{1}{4}, x_{2} = - \frac{1}{4}$

Andregradslikning uten konstantledd

Et annet spesielt tilfelle av andregradslikningen oppstår når konstantleddet c er lik null. Likningen har grunnformen:

$a x^{2} + b x = 0$

Denne typen likning løses ved å sette den ukjente utenfor parentes:

$x (a x + b) = 0.$

Her er resultatet allerede ganske tydelig. Igjen får vi to løsninger av likningen, men den ene av dem er alltid lik null. Hele venstre side har vi nemlig på formen av et produkt av to uttrykk: x og så parentesen (ax + b). Når er dette produktet lik null? Hvis minst ett av disse uttrykkene er lik null. Venstre side er altså lik null i to tilfeller:

$x = 0 eller a x + b = 0.$

Den første løsningen av likningen har vi dermed allerede, den er null. Den neste får vi hvis vi løser den lineære likningen ax + b = 0. Fra artikkelen om lineære likninger vet vi at denne likningen har nøyaktig én løsning, som er lik:

$x = - \frac{b}{a}$

Vi kan altså skrive opp løsningen av hele andregradslikningen ax² + bx = 0:

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{b}{a} .$

Eksempel:

$6 x^{2} + 3 x = 0$

Vi setter x utenfor parentes:

$x (6 x + 3) = 0$

Den første løsningen er x = 0. Den andre løsningen finner vi ved å løse den lineære likningen 6x + 3 = 0:

$x = - \frac{b}{a} = - \frac{3}{6} = - \frac{1}{2} .$

Vi skriver opp resultatet:

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{1}{2} .$

Igjen kan vi se på grafen til funksjonen, som skjærer x-aksen nøyaktig i disse punktene:

Grafen til funksjonen 6x^2+3x

Andre løsningsmetoder

Dette var de grunnleggende teknikkene for spesielle typer andregradslikninger. En generell andregradslikning løses ved hjelp av diskriminanten. Blant andre typer likninger finner vi andregradslikningen med parameter.

Kalkulator

Skriv inn koeffisientene a, b og c i den generelle likningen ax² + bx + c = 0, så regner kalkulatoren ut både diskriminanten og løsningene. Du finner den også separat som kalkulator for andregradslikninger.

Kapitler: Andregradslikninger, Diskriminanten, Andregradslikning med parameter, Andregradslikninger i de komplekse tallene

« Forrige: Lineær likning med parameter

Neste: Diskriminanten »