Diskriminanten

Diskriminanten er et polynom som vi kan bruke til å regne ut løsningene av en generell andregradslikning, eventuelt til å avgjøre om likningen har løsninger og hvor mange.

Formelen og grunnleggende sammenhenger

Først repeterer vi grunnformen til andregradslikningen:

$a x^{2} + b x + c = 0, a \neq 0$

der a, b, c er reelle tall. Diskriminanten, la oss kalle den D, regner vi ut slik:

$D = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$

Eksempel: Vi har andregradslikningen 3x² + 5x − 7 = 0. For denne likningen gjelder: a = 3, b = 5, c = −7. Diskriminanten regner vi ut slik:

$D = 5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 7) = 25 + 4 \cdot 3 \cdot 7 = 25 + 84 = 109$

Resultatet er altså 109. Hva forteller dette tallet oss? Hvis diskriminanten blir …

positiv, har likningen to ulike reelle løsninger,
null, har likningen to like reelle løsninger,
negativ, har likningen ingen løsning i de reelle tallene. Den har imidlertid løsninger i de komplekse tallene.

Hvordan regne ut løsningene av en andregradslikning

Ved hjelp av diskriminanten kan vi regne ut løsningene av andregradslikningen direkte. Formelen for løsningene lyder slik:

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a},$

der D er diskriminanten. Hele formelen med diskriminanten skrevet ut ser slik ut:

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

La oss prøve å bruke denne formelen til å regne ut løsningene av andregradslikningen x² + 7x + 12 = 0. Først regner vi ut diskriminanten:

$D = 7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1.$

Diskriminanten ble positiv, så likningen har to ulike reelle løsninger. Vi regner ut den første løsningen. Først legger vi kvadratroten av diskriminanten til, i det andre trinnet trekker vi kvadratroten fra:

$x_{1} = \frac{- 7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{- 7 + 1}{2} = - \frac{6}{2} = - 3.$

Den første løsningen ble −3. Den andre løsningen regner vi ut ved å trekke fra kvadratroten:

$x_{2} = \frac{- 7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{- 7 - 1}{2} = - \frac{8}{2} = - 4.$

Nå har vi begge løsningene av likningen, x₁ = −3 og x₂ = −4.

For å mestre denne framgangsmåten er det helt nødvendig at du kan bestemme verdiene a, b og c riktig. Hvordan du gjør det, ble beskrevet i den første artikkelen om andregradslikninger.

Og hva betyr denne løsningen grafisk, hvordan viser den seg i grafen? Hvis vi tegner grafen til funksjonen som står på venstre side av likningen, ser vi at grafen til denne andregradsfunksjonen skjærer x-aksen i to punkter — i punktene x₁ = −3 og x₂ = −4.

Grafen til funksjonen y=x^2+7x+12

Diskriminant lik null

Hvis diskriminanten blir null, betyr det at likningen har en løsning, men bare én; eller rettere sagt to, men like. Eksempel: Løs likningen x² − 10x + 25 = 0. Vi regner ut diskriminanten:

$D = (- 10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0.$

Løsningen regner vi ut på samme måte som i forrige avsnitt, ved hjelp av formelen. Men siden diskriminanten er null, forsvinner pluss/minus kvadratroten av D fra formelen, fordi vi ville lagt til/trukket fra null.

$x_{1, 2} = \frac{- (- 10)}{2} = \frac{10}{2} = 5.$

Vi fikk én dobbel løsning, x = 5. Hva betyr det grafisk? At grafen til funksjonen berører x-aksen i nøyaktig ett punkt, i toppunktet (her bunnpunktet) sitt.

Grafen til funksjonen y=x^2-10x+25

Negativ diskriminant

Hvis vi får en negativ diskriminant, har andregradslikningen ingen løsning i de reelle tallene. Vi kan løse likningen i de komplekse tallene, men det kommer først i neste artikkel. Som eksempel prøver vi å løse denne andregradslikningen: x² + x + 1 = 0. Diskriminanten:

$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = - 3.$

Andregradslikningen har altså ingen løsning i de reelle tallene. Du kan prøve selv — polynomet x² + x + 1 er positivt for alle reelle tall. Hvis du for eksempel setter inn én for x, får du: 1 + 1 + 1 = 3. Hvis x = −1, har vi 1 − 1 + 1 = 1. Hvis x = 0, har vi 0 + 0 + 1 = 1. Og tilsvarende for andre tall. Du kan også se på grafen til funksjonen y = x² + x + 1, den skjærer aldri x-aksen.

Grafen til funksjonen y=x^2+x+1

Vietas formler

Vi vet allerede hvordan vi regner ut løsningene av en andregradslikning. Men hvilken sammenheng er det mellom dem? Vi prøver å legge sammen begge løsningene x₁ og x₂:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} \\ = & \frac{- b + \sqrt{D} - b - \sqrt{D}}{2 a} \\ = & \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a} \end{array}$

Hvis vi legger sammen løsningene av andregradslikningen ax² + bx + c = 0, får vi kvotienten −b/a. Hva skjer hvis vi ganger løsningene?

$\begin{array}{rcl} x_{1} \cdot x_{2} & = & \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} \cdot \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} \\ = & \frac{b^{2} + b \cdot \sqrt{D} - b \cdot \sqrt{D} - D}{4 a^{2}} \\ = & \frac{b^{2} - D}{4 a^{2}} \\ = & \frac{b^{2} - (b^{2} - 4 a c)}{4 a^{2}} \\ = & \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a} \end{array}$

Hvis vi ganger løsningene, får vi altså tallet c/a. Og dette er Vietas formler. Her er de samlet en gang til:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & - \frac{b}{a} \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & \frac{c}{a} \end{array}$

Legg merke til at det alltid står uttrykket a i nevneren til brøken. Et spesialtilfelle er andregradslikningen der a = 1. Da kan vi skrive Vietas formler slik:

$\begin{array}{rcl} hvis a = 1 : \\ x_{1} + x_{2} & = & - b \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & c \end{array}$

Dette kan vi bruke når vi leter etter løsninger av andregradslikninger. I stedet for å regne ut diskriminanten på en omstendelig måte kan vi se om vi klarer å finne tall x₁ og x₂ som oppfyller sammenhengene ovenfor. Eksempel: Finn løsningene av likningen x² + 8x + 15 = 0. Det gjelder at a = 1, så vi kan bruke de enklere Vietas formlene. Vi leter etter tall x₁ og x₂ slik at det gjelder:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & - 8 \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & 15 \end{array}$

Hvis vi begrenser oss til hele tall, har vi til sammen fire muligheter for å få 15 som produkt:

$\begin{array}{rcl} 1 \cdot 15 & = & 15 \\ 3 \cdot 5 & = & 15 \\ - 3 \cdot (- 5) & = & 15 \\ - 1 \cdot (- 15) & = & 15 \end{array}$

Nå trenger vi at summen av tallene på venstre side gir −8. Bare ett eneste par gir en slik sum, nemlig −3 og −5. Disse tallene er dermed løsningene av andregradslikningen. Vi kan prøve å sette dem inn i likningen, vi må få null:

$\begin{array}{rcl} (x = - 3) : & (- 3)^{2} + 8 \cdot (- 3) + 15 = 9 - 24 + 15 = 0 \\ (x = - 5) : & (- 5)^{2} + 8 \cdot (- 5) + 15 = 25 - 40 + 15 = 0 \end{array}$

Det stemmer. Hvis du kjenner løsningene, kan du også skrive likningen på en mer oversiktlig form. Hvis x₁ og x₂ er løsningene av likningen ax² + bx + c = 0, kan du, hvis a = 1, skrive likningen om til formen

$(x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0.$

Den forrige likningen kan vi altså skrive om til formen:

$(x - (- 3)) (x - (- 5)) = (x + 3) (x + 5) = 0.$

Kapitler: Andregradslikninger, Diskriminanten, Andregradslikning med parameter, Andregradslikninger i de komplekse tallene

« Forrige: Andregradslikninger

Neste: Andregradslikning med parameter »