Procent składany

O procencie składanym mówimy wtedy, gdy odsetki dolicza się więcej niż raz. Jeśli więc mamy dług, od którego odsetki dolicza się raz w roku, i jesteśmy go winni przez pięć lat, odsetki zostaną doliczone pięć razy.

Procent składany

Jeśli odsetki od kwoty długu dolicza się kilka razy, mówimy o procencie składanym. W poprzednim wzorze używaliśmy procentów, w następnym łatwiej już będzie zamienić procenty na zwykły ułamek dziesiętny. Zrobimy to po prostu: procenty podzielimy przez sto. Jeśli oprocentowanie wynosiło 50%, dostaniesz liczbę 0,5, czyli jedną drugą. Jeśli wynosiło 7%, dostaniesz liczbę 0,07. Ten ułamek dziesiętny będę oznaczać literą „d”. Wzór mógłby wyglądać tak:

$$d=\frac{\mbox{stopa procentowa}}{100}$$

Jeśli przez tę liczbę pomnożymy kwotę długu, otrzymamy od razu odsetki. Załóżmy, że wujek Wiktor pożyczył nam dwa miliony złotych na 10% w skali roku. W postaci ułamka dziesiętnego to 0,1. Po pierwszym roku odsetki wynoszą więc 2 000 000 · 0,1 = 200 000. Zapłacimy zatem o 200 000 więcej, niż pożyczyliśmy. Ile wyniosą odsetki w kolejnym roku? Musimy wziąć pierwotną kwotę, dodać do niej pierwsze odsetki i znowu pomnożyć przez 0,1:

$$(2{,}000,000+200{,}000)\cdot0{,}1=220{,}000$$

Rok później zapłacilibyśmy więc 220 000 odsetek, czyli więcej niż w pierwszym roku.

Jeśli chcemy od razu otrzymać kwotę długu, a nie same odsetki, wystarczy do stopy procentowej w postaci ułamka dziesiętnego dodać jedynkę i przez to wyrażenie pomnożyć kwotę długu:

$$2{,}000,000\cdot1{,}1=2{,}200,000$$

Po pierwszym roku bylibyśmy więc winni 2 200 000. Jeśli chcemy obliczyć kwotę długu po trzech latach, pomnożymy ją przez 1,1 kilka razy z rzędu:

$$((2{,}000,000\cdot1{,}1)\cdot1{,}1)\cdot1{,}1=2{,}662,000$$

Z tego powoli wyłania się wzór, bo w mnożeniu nie ma znaczenia ani kolejność, ani nawiasy, więc wyrażenie możemy zapisać tak:

$$2{,}000,000\cdot(1{,}1\cdot1{,}1\cdot1{,}1)$$

A to już tylko przepiszemy za pomocą potęg:

$$2{,}000,000\cdot1{,}1^3$$

Stąd już gładko wyprowadzimy ogólny wzór.

Ostateczny wzór na procent składany

Oto wzór na procent składany, zaraz go wyjaśnię:

$$j_t=j_0\cdot(1+d)^t$$

Litera „j” oznacza kapitał, czyli kwotę długu. Dolny indeks mówi, ile kapitalizacji ta kwota ma już za sobą. Symbol j₀ oznacza więc kwotę, która nie przeszła jeszcze żadnej kapitalizacji — to kwota, którą dostaliśmy na początku (dwa miliony od wujka Wiktora). Litera „t” oznacza liczbę kapitalizacji, którą chcemy policzyć. Jeśli chcemy liczyć dziesięć lat do przodu, będzie t = 10. Symbol j_t oznacza wtedy końcową kwotę długu po t kapitalizacjach. Litera „d” oznacza stopę procentową zapisaną jako ułamek dziesiętny (patrz wyżej).

Spróbujmy obliczyć, ile odsetek zapłacilibyśmy, gdybyśmy całą kwotę oddali wujkowi Wiktorowi dopiero po 15 latach:

$$j_t=j_0\cdot(1+d)^t=2{,}000,000\cdot(1+0{,}1)^{15}=8{,}354,496$$

Uwaga: to nie są jeszcze odsetki, tylko końcowa kwota długu. Gdybyśmy chcieli same odsetki, musielibyśmy odjąć pierwotną kwotę długu, czyli jeszcze minus dwa miliony: 6 354 496.

Przykład

Paweł chciał kupić nowy, drogi samochód, oczywiście nie miał na niego pieniędzy, więc pożyczył pół miliona, 500 000. Stopa procentowa wynosiła 8%, a odsetki doliczano zawsze raz w roku. Paweł lubił szastać pieniędzmi, więc przez pierwszy rok spłacił tylko dwadzieścia tysięcy, 20 000. Kwota długu spadła do 480 000. Tyle że na przełomie roku doliczono odsetki i wyszło na to, że wyniosły 480 000 · 0,08 = 38 400. W Nowy Rok Paweł był więc winien już 480 000 + 38 400 = 518 400. To więcej niż na początku.

Pawła wcale to nie zaniepokoiło i znowu spłacił tylko 20 000. Był więc winien 498 400. Po doliczeniu odsetek dług podskoczył do 538 272. Kwota długu była wyższa niż rok i dwa lata wcześniej. Paweł tego nie załapał i dalej spłacał tylko 20 000 rocznie. Spłacał tak do końca życia, a i tak umarł z wielomilionowym długiem. Lepiej tak nie rób.

Do dalszej lektury

Z procentem składanym ściśle wiąże się liczba Eulera. Koniecznie przeczytaj więc, skąd się wzięła liczba Eulera. A procent składany przyda ci się, jeśli zechcesz wiedzieć, jak obliczyć odsetki od kredytu hipotecznego.