Jak obliczyć odsetki od kredytu hipotecznego

Kredyt hipoteczny bierzemy zwykle wtedy, gdy chcemy kupić nieruchomość — zwykle dom albo mieszkanie. Pokażmy sobie, jak oblicza się odsetki, które od kredytu hipotecznego będziesz musiał zapłacić.

Oprocentowanie roczne a kapitalizacja miesięczna

Każdy kredyt hipoteczny ma określone roczne oprocentowanie, które podaje się w procentach. Możesz więc zobaczyć reklamę kredytu hipotecznego z oprocentowaniem 3% p.a. To „p.a.” to skrót od łacińskiego „per annum”, co po polsku znaczy „rocznie” albo „w skali roku”. W uproszczeniu i nieprecyzyjnie mówiąc: jeśli pożyczysz milion złotych, zapłacisz w ciągu roku 3% odsetek, czyli 30 000 złotych.

W rzeczywistości jednak nie zapłacisz dokładnie trzydziestu tysięcy, zapłacisz mniej. Zwykły kredyt hipoteczny spłacasz bowiem co miesiąc i równie często bank nalicza ci odsetki. Zamiast obliczyć jedne roczne odsetki, bank obliczy ci dwanaście razy odsetki miesięczne. A ponieważ kredyt stopniowo spłacasz, jesteś bankowi winien coraz mniej pieniędzy, więc i odsetki są coraz niższe. Pokażmy to na przykładzie. Pożyczasz milion złotych na 3% w skali roku z ratą 10 000 złotych miesięcznie. Ile wyniosą pierwsze odsetki?

Pierwsza rata

Najpierw obliczymy miesięczną stopę procentową. Liczy się ją tak, że roczne oprocentowanie dzielimy przez dwanaście:

$$\frac{3\%}{12} = 0{,}25\%$$

Miesięczna stopa procentowa wynosi więc 0,25%. Za pierwszy miesiąc zapłacimy bankowi 0,25% tego, co jesteśmy mu jeszcze winni, czyli miliona złotych. 0,25% obliczymy jako

$$1\ 000\ 000\cdot 0{,}25\%=1\ 000\ 000\cdot0{,}0025=2500$$

Za pierwszy miesiąc zapłacimy bankowi 2500 złotych odsetek. Ponieważ nasza miesięczna rata wynosi 10 000 złotych, po pierwszym miesiącu jesteśmy bankowi winni

$$1\ 000\ 000+2500-10\ 000=992\ 500$$

992 500 złotych. Nasza pierwsza rata składa się więc z 2500 złotych, które poszły na odsetki, i 7500, którymi spłaciliśmy część naszego długu wobec banku. Te 7500 złotych to część kapitałowa raty.

Druga rata

Jak wyglądałoby to w drugim miesiącu? Miesięczna stopa procentowa się nie zmienia, wciąż wynosi 0,25%. Zmienia się za to kwota, którą jesteśmy bankowi winni z tytułu kredytu. Tę kwotę nazywamy kapitałem i po pierwszym miesiącu wynosi ona 992 500 złotych. Nowe miesięczne odsetki obliczymy dokładnie tak samo jak w pierwszym miesiącu, tylko zamiast miliona weźmiemy 992 500 złotych, czyli obliczymy 0,25% z 992 500 złotych:

$$992\ 500\cdot 0{,}25\%=992\ 500\cdot0{,}0025=2481{,}25$$

W drugim miesiącu odsetki wynoszą więc tylko 2481,25 złotych zamiast 2500 złotych — bo spłaciliśmy już część długu i mamy mniejszy kapitał. Część kapitałowa wyniesie

$$10\ 000 - 2481{,}25 = 7518{,}75$$

W drugim miesiącu spłaciliśmy więc więcej kredytu niż w pierwszym i łącznie jesteśmy winni już tylko

$$992\ 500-7518{,}75=984\ 981{,}25$$

Kolejne raty…

Kolejne raty liczy się wciąż tak samo, dopóki nie dojdziemy do zera. W trzecim miesiącu obliczylibyśmy więc odsetki jako

$$984\ 981{,}25\cdot0{,}25\%=984\ 981{,}25\cdot0{,}0025=2462{,}45$$

Widzimy, że odsetki 2462,45 złotych są znowu trochę mniejsze niż w poprzednim miesiącu, a część kapitałowa 7537,55 jest za to znowu trochę większa. Każdego kolejnego miesiąca odsetki będą coraz mniejsze, bo jesteśmy bankowi winni coraz mniej pieniędzy. A część kapitałowa będzie coraz większa — z czasem spłacamy kredyt coraz szybciej, bo płacimy mniej odsetek, a więcej pieniędzy idzie na spłatę kapitału.

Możemy zauważyć, że choć oprocentowanie roczne wynosiło 3%, nie zapłacimy 30 000 złotych odsetek. Żeby zapłacić 30 000 odsetek, musielibyśmy co miesiąc płacić 2500 złotych odsetek. My jednak co miesiąc płacimy coraz mniej i w efekcie zapłacimy mniej niż 30 000 złotych odsetek.

W gruncie rzeczy to wszystko, co musisz wiedzieć o tym, jak oblicza się odsetki od kredytu hipotecznego. Przyjrzyjmy się jednak jeszcze kilku innym ciekawostkom.

Dokładne obliczenie miesięcznych odsetek

Na początku powiedzieliśmy sobie, że miesięczną stopę procentową obliczymy jako

$$\frac{3\%}{12} = 0{,}25\%$$

Takiego obliczenia używają banki, ale matematycznie poprawne nie jest. Banki stosują je raczej z przyczyn historycznych, bo dzielenie przez dwanaście jest po prostu prostsze niż matematycznie poprawny sposób. Co właściwie chcemy osiągnąć, gdy obliczamy miesięczne odsetki? Roczne oprocentowanie 3% od miliona mówi nam, że w ciągu roku klient zapłaciłby 30 000 złotych odsetek. Wyobraźmy sobie, że klient przez cały rok nie spłaca kredytu i tylko pozwala dopisywać odsetki. Jaka powinna być miesięczna stopa procentowa, żeby po dwunastu miesiącach uzbierało się dokładnie 30 000 złotych odsetek? Jeśli użyjemy naszego wzoru „podzielić przez dwanaście”, wyjdzie nam bowiem więcej niż 30 000 złotych. Policzmy to:

Najpierw pokażemy, jak w prosty sposób doliczać odsetki do kapitału. Jeśli miesięczną stopę procentową obliczyliśmy jako 0,25%, to kwotę po doliczeniu odsetek otrzymamy, mnożąc kapitał przez liczbę 1,0025:

$$1\ 000\ 000\cdot1{,}0025=1\ 002\ 500$$

Po dwóch miesiącach bez spłat kapitał będzie więc równy

$$1\ 000\ 000\cdot1{,}0025\cdot1{,}0025=1\ 005\ 006{,}25$$

Czyli milion mnożymy przez liczbę 1,0025 tyle razy, ile razy chcemy dopisać odsetki. Żeby to sobie uprościć, możemy użyć potęg, bo wiemy, że

$$1{,}0025\cdot1{,}0025=1{,}0025^2$$

więc możemy zapisać

$$1\ 000\ 000\cdot1{,}0025^2=1\ 005\ 006{,}25$$

My chcemy wiedzieć, ile wyniesie kwota po 12 miesiącach:

$$1\ 000\ 000\cdot1{,}0025^{12}=1\ 030\ 416$$

Widzimy, że po 12 miesiącach kapitał wyniósłby 1 030 416 złotych, czyli o 416 złotych więcej, niż powinien. No… nie jest to zbyt duża różnica, przyznajmy, ale krótko mówiąc, poprawny wynik to nie jest. Jak to naprawić?

Wróćmy jeszcze do rocznej stopy procentowej naszego kredytu. Jeśli chcemy sprawdzić, ile wyniósłby kapitał, gdybyśmy zastosowali do niego roczne oprocentowanie trzy procent, możemy to zapisać tak:

$$1\ 000\ 000\cdot1{,}03=1\ 030\ 000$$

Teraz chcemy rozłożyć liczbę 1,03 na iloczyn dwunastu jednakowych liczb, przez co otrzymamy liczbę, przez którą trzeba co miesiąc mnożyć kapitał. Miesięczna stopa procentowa jest od niej o jeden mniejsza. Czyli: iloczyn jakich dwunastu jednakowych liczb daje wynik 1,03? To pierwiastek dwunastego stopnia z 1,03:

$$1{,}03 = \sqrt[12]{1{,}03}\cdot\sqrt[12]{1{,}03}\cdot\ldots\cdot\sqrt[12]{1{,}03}$$

Możemy obliczyć, że pierwiastek dwunastego stopnia z 1,03 to 1,0024662 z kawałkiem, co doprawdy nie jest dużą różnicą w porównaniu z liczbą 1,0025, którą otrzymaliśmy, dzieląc przez dwanaście. Ale to jest poprawny wynik: gdyby nasza miesięczna stopa procentowa wynosiła $\sqrt[12]{1,03}-1$, czyli około 0,2466% zamiast 0,25% (co miesiąc mnożylibyśmy kapitał przez $\sqrt[12]{1,03}$), kapitał po roku bez spłacania rat wzrósłby dokładnie o trzy procent.

Odsetki dzienne a miesięczne

Ciekawostką jest, że niektóre banki liczą miesięczne odsetki od kredytów hipotecznych trochę inaczej. Obliczanie miesięcznej stopy przez podzielenie rocznego oprocentowania przez dwanaście ma bowiem jeszcze jeden skutek uboczny: dla wszystkich miesięcy otrzymamy tę samą stopę procentową, choć miesiące mają różną długość. Luty i lipiec dostaną tę samą stopę. Jak z tego wybrnąć? Niektóre banki rozwiązują to tak, że dzielą roczne oprocentowanie przez 360, przez co otrzymują stopę dzienną, a następnie mnożą tę stopę dzienną przez liczbę dni w miesiącu.

Dlaczego dzielą przez 360, a nie przez 365 albo 366? Bo znowu łatwiej się to liczy.