Vzájemná poloha přímky a kružnice

Přímka a kružnice se v rovině můžou potkat jen třemi způsoby. Přímka buď kružnici protne ve dvou bodech, a pak jí říkáme sečna. Nebo se jí jen dotkne v jediném bodě, a to je tečna. Anebo kolem ní projde úplně mimo, takže nemají společný žádný bod, a jde o vnější přímku. Víc možností není, tři společné body přímka s kružnicí mít nemůže. Hezkou ukázkou tečny je kolo stojící na silnici: dotýká se jí jen v jediném bodě.

Kružnice se středem S, sečna p, tečna t a vnější přímka q

Na obrázku je modrá přímka p sečna, červená t tečna a zelená q vnější přímka. Společné body jsou zvýrazněné oranžově. Všechny tři přímky jsou rovnoběžné a od sebe se liší jen vzdáleností od středu S. A právě o tu vzdálenost jde.

Podle vzdálenosti od středu

Vzdálenost středu od přímky je délka nejkratší cesty ze středu na přímku. Ta vede vždy kolmo: ze středu spustíme na přímku kolmici a změříme úsečku od středu k místu, kde kolmice přímku protne. Ke kterémukoli jinému bodu přímky je to ze středu dál, protože taková úsečka je přeponou pravoúhlého trojúhelníku a přepona je delší než odvěsna. Na obrázku jsou tyto kolmice šedé čárkované a pravý úhel u každé přímky je vyznačený obloučkem s tečkou.

Označme tuto vzdálenost d a srovnejme ji s poloměrem r:

d < r — přímka je blíž ke středu, než je poloměr, takže do kružnice vnikne a vyjde z ní ven. Je to sečna.
d = r — přímka se kružnice jen dotkne. Je to tečna.
d > r — přímka je od středu dál, než sahá kružnice. Je to vnější přímka.

U tečny prochází kolmice přesně bodem dotyku, a proto je tečna vždy kolmá k poloměru, který vede do bodu dotyku.

Vzdálenost středu od přímky určíme podle vzorce pro vzdálenost bodu od přímky. Pro bod S[m, n] a přímku ax + by + c = 0 platí:

$d = \frac{| a \cdot m + b \cdot n + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Vzorec chce přímku v obecném tvaru. Je-li zadaná třeba jako y = x + 1, musíme ji nejdřív upravit na x − y + 1 = 0, jinak dosadíme špatná čísla.

Vyzkoušejme vzorec na kružnici x² + y² = 25 a přímce 3x − 4y − 25 = 0. Kružnice má podle rovnice kružnice střed v počátku S[0, 0] a poloměr $r = \sqrt{25} = 5$ . Z rovnice přímky přečteme a = 3, b = −4 a c = −25 a dosadíme:

$d = \frac{| 3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 - 25 |}{\sqrt{3^{2} + (- 4)^{2}}} = \frac{| - 25 |}{\sqrt{9 + 16}}$

A dopočítáme:

$d = \frac{25}{\sqrt{25}} = \frac{25}{5} = 5$

Vyšlo nám 5, tedy přesně poloměr, a přímka je proto tečna kružnice.

Kružnice x^2+y^2=25, přímka 3x-4y-25=0 a její vzdálenost d od středu S

Na obrázku je vzdálenost d červeně. Kolmice ze středu měří stejně jako poloměr, takže končí přesně na kružnici, v bodě T, kde se přímka kružnice dotýká.

Tenhle postup je rychlý a hodí se, když nám stačí vědět, jak přímka vzhledem ke kružnici leží. Neprozradí nám ale, kde přesně kružnici protíná nebo se jí dotýká. Na to musíme počítat.

Výpočet společných bodů

Společný bod přímky a kružnice musí vyhovovat oběma rovnicím současně, takže řešíme soustavu rovnic, stejně jako u vzájemné polohy dvou přímek: z rovnice přímky vyjádříme jednu neznámou a vložíme ji do rovnice kružnice. Vyjde nám kvadratická rovnice a kolik má řešení, tolik společných bodů přímka s kružnicí má. Počet řešení nám prozradí diskriminant:

D > 0 — dvě řešení, přímka je sečna,
D = 0 — jedno (dvojnásobné) řešení, přímka je tečna,
D < 0 — žádné řešení, přímka je vnější.

Kružnice x^2+y^2=25, sečna p s body P, Q a tečna t s bodem dotyku T

Příklad první: Máme kružnici x² + y² = 25 a přímku y = x + 1. Za y dosadíme do rovnice kružnice výraz x + 1:

$x^{2} + (x + 1)^{2} = 25$

Umocníme závorku:

$x^{2} + x^{2} + 2 x + 1 = 25$

Sečteme a převedeme všechno na levou stranu:

$2 x^{2} + 2 x - 24 = 0$

Celou rovnici zkrátíme dvěma:

$x^{2} + x - 12 = 0$

Spočítáme diskriminant:

$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12) = 1 + 48 = 49$

Diskriminant je kladný, přímka je tedy sečna. Kořeny jsou

$x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{- 1 \pm 7}{2},$

tedy x₁ = 3 a x₂ = −4. Hotovo ještě není: hledáme celé body, nejen jejich první souřadnice. Druhé souřadnice dostaneme z rovnice přímky y = x + 1: pro x = 3 je y = 4 a pro x = −4 je y = −3. Přímka tedy kružnici protíná v bodech P[3, 4] a Q[−4, −3].

Zkouška pro bod P: 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Sedí, bod leží na kružnici.

Druhý příklad: Vezměme znovu přímku 3x − 4y = 25 z předchozí sekce. O ní už víme, že je tečna, takže teď zbývá najít bod dotyku. Nejprve vyjádříme y:

$y = \frac{3 x - 25}{4}$

Dosadíme do rovnice kružnice:

$x^{2} + {(\frac{3 x - 25}{4})}^{2} = 25$

Umocníme zlomek, čitatel i jmenovatel zvlášť:

$x^{2} + \frac{9 x^{2} - 150 x + 625}{16} = 25$

Aby zlomek zmizel, vynásobíme celou rovnici šestnácti:

$16 x^{2} + 9 x^{2} - 150 x + 625 = 400$

Členy sloučíme a převedeme je na levou stranu:

$25 x^{2} - 150 x + 225 = 0$

Vydělíme pětadvaceti:

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

Diskriminant:

$D = (- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$

Nula, přímka je tedy tečna. To jsme už věděli, ale hodí se vidět, že obě metody dojdou ke stejnému výsledku. Jediný (dvojnásobný) kořen je $x = \frac{6}{2} = 3$ a po dosazení do $y = \frac{3 x - 25}{4}$ vyjde $y = \frac{9 - 25}{4} = - 4$ . Bod dotyku je T[3, −4].

Třetí příklad: Zkusme přímku y = x + 10. Po dosazení do x² + y² = 25 vznikne rovnice 2x² + 20x + 75 = 0 a diskriminant D = 20² − 4 · 2 · 75 = 400 − 600 = −200. Záporný diskriminant znamená, že rovnice nemá řešení, a přímka je tedy vnější.

Kapitoly: Rovnice kružnice, Vzájemná poloha přímky a kružnice

« Předchozí: Kružnice

Další: Statistika »