Bir Doğru ile Çemberin Birbirine Göre Durumu

Bir doğru ile bir çember düzlemde yalnızca üç biçimde karşılaşabilir. Doğru ya çemberi iki noktada keser; o zaman ona kesen doğrusu deriz. Ya çembere yalnızca tek bir noktada değer; bu da teğet doğrusudur. Ya da çemberin yanından hiç dokunmadan geçer, yani ortak noktaları yoktur; buna çemberin dışında kalan doğru diyelim. Başka bir olasılık yok: bir doğru çemberle üç ortak noktaya sahip olamaz. Teğetin güzel bir örneği yolda duran bir bisiklet tekeridir: yola yalnızca tek bir noktada değer.

Şekilde mavi p doğrusu kesen, kırmızı t doğrusu teğet, yeşil q doğrusu ise çemberin dışında kalan doğrudur. Ortak noktalar turuncu ile gösterilmiştir. Üç doğru da birbirine paraleldir ve yalnızca S merkezine uzaklıkları bakımından farklıdır. Mesele de tam olarak bu uzaklıktır.

Merkeze uzaklığa göre

Merkezin bir doğruya uzaklığı, merkezden doğruya giden en kısa yolun uzunluğudur. Bu yol her zaman diktir: merkezden doğruya bir dikme indiririz ve merkezden dikmenin doğruyu kestiği noktaya kadar olan doğru parçasını ölçeriz. Doğrunun başka herhangi bir noktası merkezden daha uzaktadır, çünkü ona giden doğru parçası bir dik üçgenin hipotenüsüdür ve hipotenüs her dik kenardan uzundur. Şekilde bu dikmeler gri kesikli çizgilerdir ve her doğrudaki dik açı bir yay ve bir noktayla işaretlenmiştir.

Merkezin doğruya uzaklığına d diyelim ve onu r yarıçapıyla karşılaştıralım:

• d < r — doğru merkeze yarıçaptan daha yakındır, bu yüzden çembere girer ve çemberden çıkar. Bu bir kesen doğrusudur.
• d = r — doğru çembere yalnızca değer. Bu bir teğet doğrusudur.
• d > r — doğru merkezden çemberin uzandığından daha uzaktadır. Bu, çemberin dışında kalan doğrudur.

Teğette bu dikme tam olarak değme noktasından geçer; bu yüzden teğet doğrusu, değme noktasına giden yarıçapa her zaman diktir.

Merkezin doğruya uzaklığını bir noktanın bir doğruya uzaklığı formülüyle buluruz. S(m, n) noktası ve ax + by + c = 0 doğrusu için şu geçerlidir:

$$d=\frac{|a\cdot m+b\cdot n+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Formül, doğrunun genel biçimde yazılmasını ister. Doğru örneğin y = x + 1 olarak verilmişse önce onu x − y + 1 = 0 biçimine getirmemiz gerekir, yoksa yanlış sayıları yerine yazarız.

Formülü x² + y² = 25 çemberi ve 3x − 4y − 25 = 0 doğrusu üzerinde deneyelim. Çemberin denklemine göre bu çemberin merkezi başlangıç noktası S(0, 0), yarıçapı ise $r=\sqrt{25}=5$ olur. Doğrunun denkleminden a = 3, b = −4 ve c = −25 değerlerini okur ve yerine yazarız:

$$d=\frac{|3\cdot 0-4\cdot 0-25|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-25|}{\sqrt{9+16}}$$

Ve hesabı bitiririz:

$$d=\frac{25}{\sqrt{25}}=\frac{25}{5}=5$$

Sonuç 5 çıktı, yani tam olarak yarıçap; dolayısıyla doğru çembere teğettir.

Şekilde d uzaklığı kırmızıdır. Merkezden inen dikme tam olarak yarıçap uzunluğundadır, bu yüzden tam çemberin üzerinde, doğrunun çembere değdiği T noktasında biter.

Bu yöntem hızlıdır ve doğrunun çembere göre nasıl durduğunu bilmemiz yeterli olduğunda işe yarar. Ama çemberi tam olarak nerede kestiğini ya da nerede değdiğini bize söylemez. Bunun için hesap yapmamız gerekir.

Ortak noktaların hesaplanması

Doğru ile çemberin bir ortak noktası iki denklemi birden sağlamak zorundadır; bu yüzden tıpkı iki doğrunun birbirine göre durumunda olduğu gibi bir denklem sistemi çözeriz: doğrunun denkleminden bir bilinmeyeni çekip çemberin denkleminde yerine yazarız. İkinci dereceden bir denklem elde ederiz ve bu denklemin kaç çözümü varsa, doğrunun çemberle o kadar ortak noktası vardır. Çözüm sayısını bize diskriminant söyler:

• Δ> 0 — iki çözüm, doğru kesendir,
• Δ= 0 — bir (çakışık) çözüm, doğru teğettir,
• Δ< 0 — çözüm yok, doğru çemberin dışında kalır.

Birinci örnek: x² + y² = 25 çemberi ve y = x + 1 doğrusu verilmiş olsun. Çemberin denkleminde y yerine x + 1 ifadesini yazarız:

$$x^2+(x+1{)}^2=25$$

Parantezin karesini alırız:

$$x^2+x^2+2x+1=25$$

Toplarız ve her şeyi sol tarafa geçiririz:

$$2x^2+2x-24=0$$

Denklemin tamamını ikiye böleriz:

$$x^2+x-12=0$$

Diskriminantı hesaplarız:

$$\mathrm{\Delta }=1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+48=49$$

Diskriminant pozitiftir, yani doğru kesendir. Kökler

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm 7}{2},$$

yani x₁ = 3 ve x₂ = −4 olur. Henüz bitmedi: yalnızca noktaların ilk koordinatlarını değil, noktaların tamamını arıyoruz. İkinci koordinatları y = x + 1 doğru denkleminden buluruz: x = 3 için y = 4, x = −4 için y = −3 olur. Demek ki doğru çemberi P(3, 4) ve Q(−4, −3) noktalarında keser.

P noktası için doğrulama: 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Tutuyor, nokta çemberin üzerindedir.

İkinci örnek: Önceki bölümdeki 3x − 4y = 25 doğrusunu yeniden ele alalım. Bu doğrunun teğet olduğunu zaten biliyoruz, o hâlde şimdi değme noktasını bulmamız kalıyor. Önce y’yi çekeriz:

$$y=\frac{3x-25}{4}$$

Çemberin denkleminde yerine yazarız:

$$x^2+{\left(\frac{3x-25}{4}\right)}^2=25$$

Kesrin karesini, pay ve paydayı ayrı ayrı alarak buluruz:

$$x^2+\frac{9x^2-150x+625}{16}=25$$

Kesir ortadan kalksın diye denklemin tamamını on altıyla çarparız:

$$16x^2+9x^2-150x+625=400$$

Terimleri toplar ve sol tarafa geçiririz:

$$25x^2-150x+225=0$$

Yirmi beşe böleriz:

$$x^2-6x+9=0$$

Diskriminant:

$$\mathrm{\Delta }=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$$

Sıfır, yani doğru teğettir. Bunu zaten biliyorduk, ama iki yöntemin aynı sonuca vardığını görmek yararlı. Tek (çakışık) kök $x=\frac{6}{2}=3$ olur ve bunu $y=\frac{3x-25}{4}$ içinde yerine yazınca $y=\frac{9-25}{4}=-4$ çıkar. Değme noktası T(3, −4) noktasıdır.

Üçüncü örnek: Şimdi y = x + 10 doğrusunu deneyelim. x² + y² = 25 içinde yerine yazınca 2x² + 20x + 75 = 0 denklemi ve Δ= 20² − 4 · 2 · 75 = 400 − 600 = −200 diskriminantı ortaya çıkar. Negatif diskriminant, denklemin çözümü olmadığı anlamına gelir; dolayısıyla doğru çemberin dışında kalır.