Posición relativa de una recta y una circunferencia

Una recta y una circunferencia pueden encontrarse en el plano solo de tres maneras. O la recta corta a la circunferencia en dos puntos, y entonces la llamamos secante. O solo la toca en un único punto, y es una tangente. O pasa de largo sin tocarla, de modo que no tienen ningún punto común, y se trata de una recta exterior. No hay más posibilidades: una recta no puede tener tres puntos comunes con una circunferencia. Un buen ejemplo de tangente es una rueda de bicicleta apoyada en la carretera: la toca en un único punto.

En la figura, la recta azul p es secante, la roja t es tangente y la verde q es exterior. Los puntos comunes están marcados en naranja. Las tres rectas son paralelas y solo se diferencian en su distancia al centro S. Y de esa distancia se trata precisamente.

Según la distancia al centro

La distancia del centro a una recta es la longitud del camino más corto desde el centro hasta la recta. Ese camino siempre es perpendicular: desde el centro trazamos la perpendicular a la recta y medimos el segmento que va del centro al punto donde la perpendicular corta la recta. Cualquier otro punto de la recta está más lejos del centro, porque el segmento hasta él es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y la hipotenusa es más larga que cualquiera de los catetos. En la figura, estas perpendiculares son grises de trazos y el ángulo recto en cada recta está marcado con un arco y un punto.

Llamemos d a la distancia del centro a la recta y comparémosla con el radio r:

• d < r — la recta está más cerca del centro que el radio, así que entra en la circunferencia y sale de ella. Es secante.
• d = r — la recta solo toca la circunferencia. Es tangente.
• d > r — la recta está más lejos del centro de lo que llega la circunferencia. Es una recta exterior.

En la tangente, la perpendicular pasa exactamente por el punto de tangencia, y por eso la tangente es siempre perpendicular al radio que llega a ese punto.

La distancia del centro a la recta la obtenemos con la fórmula de la distancia de un punto a una recta. Para el punto S(m, n) y la recta ax + by + c = 0 se cumple:

$$d=\frac{|a\cdot m+b\cdot n+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

La fórmula necesita la recta en forma general. Si viene dada, por ejemplo, como y = x + 1, primero hay que pasarla a x − y + 1 = 0; si no, sustituiremos números equivocados.

Probemos la fórmula con la circunferencia x² + y² = 25 y la recta 3x − 4y − 25 = 0. Según la ecuación de la circunferencia, tiene el centro en el origen S(0, 0) y radio $r=\sqrt{25}=5$. De la ecuación de la recta leemos a = 3, b = −4 y c = −25 y sustituimos:

$$d=\frac{|3\cdot 0-4\cdot 0-25|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-25|}{\sqrt{9+16}}$$

Y terminamos el cálculo:

$$d=\frac{25}{\sqrt{25}}=\frac{25}{5}=5$$

Nos ha salido 5, es decir, justo el radio, y por tanto la recta es tangente a la circunferencia.

En la figura, la distancia d está en rojo. La perpendicular desde el centro mide exactamente lo mismo que el radio, así que termina justo sobre la circunferencia, en el punto T donde la recta la toca.

Este procedimiento es rápido y sirve cuando nos basta con saber cómo está colocada la recta respecto de la circunferencia. Pero no nos dice dónde exactamente corta a la circunferencia o la toca. Para eso tenemos que calcular.

Cálculo de los puntos comunes

Un punto común de la recta y la circunferencia tiene que cumplir las dos ecuaciones a la vez, así que resolvemos un sistema de ecuaciones, igual que en la posición relativa de dos rectas: despejamos una incógnita de la ecuación de la recta y la sustituimos en la ecuación de la circunferencia. Nos saldrá una ecuación de segundo grado, y la recta tiene tantos puntos comunes con la circunferencia como soluciones tenga esa ecuación. El número de soluciones nos lo indica el discriminante:

• Δ> 0 — dos soluciones, la recta es secante,
• Δ= 0 — una solución (doble), la recta es tangente,
• Δ< 0 — ninguna solución, la recta es exterior.

Primer ejemplo: Tenemos la circunferencia x² + y² = 25 y la recta y = x + 1. En lugar de y sustituimos en la ecuación de la circunferencia la expresión x + 1:

$$x^2+(x+1{)}^2=25$$

Desarrollamos el paréntesis:

$$x^2+x^2+2x+1=25$$

Sumamos y pasamos todo al miembro izquierdo:

$$2x^2+2x-24=0$$

Dividimos toda la ecuación entre dos:

$$x^2+x-12=0$$

Calculamos el discriminante:

$$\mathrm{\Delta }=1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+48=49$$

El discriminante es positivo, así que la recta es secante. Las raíces son

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm 7}{2},$$

es decir, x₁ = 3 y x₂ = −4. Todavía no hemos terminado: buscamos puntos completos, no solo sus primeras coordenadas. Las segundas coordenadas salen de la ecuación de la recta y = x + 1: para x = 3 es y = 4 y para x = −4 es y = −3. La recta corta, pues, a la circunferencia en los puntos P(3, 4) y Q(−4, −3).

Comprobación para el punto P: 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Cuadra, el punto está en la circunferencia.

Segundo ejemplo: Tomemos de nuevo la recta 3x − 4y = 25 de la sección anterior. De ella ya sabemos que es tangente, así que ahora falta encontrar el punto de tangencia. Primero despejamos y:

$$y=\frac{3x-25}{4}$$

Sustituimos en la ecuación de la circunferencia:

$$x^2+{\left(\frac{3x-25}{4}\right)}^2=25$$

Elevamos al cuadrado la fracción, numerador y denominador por separado:

$$x^2+\frac{9x^2-150x+625}{16}=25$$

Para que desaparezca la fracción, multiplicamos toda la ecuación por dieciséis:

$$16x^2+9x^2-150x+625=400$$

Reducimos términos semejantes y los pasamos al miembro izquierdo:

$$25x^2-150x+225=0$$

Dividimos entre veinticinco:

$$x^2-6x+9=0$$

Discriminante:

$$\mathrm{\Delta }=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$$

Cero, así que la recta es tangente. Eso ya lo sabíamos, pero viene bien ver que los dos métodos llegan al mismo resultado. La única raíz (doble) es $x=\frac{6}{2}=3$ y, al sustituir en $y=\frac{3x-25}{4}$, sale $y=\frac{9-25}{4}=-4$. El punto de tangencia es T(3, −4).

Tercer ejemplo: Probemos con la recta y = x + 10. Al sustituir en x² + y² = 25 obtenemos la ecuación 2x² + 20x + 75 = 0 y el discriminante Δ= 20² − 4 · 2 · 75 = 400 − 600 = −200. Un discriminante negativo significa que la ecuación no tiene solución, y por tanto la recta es exterior.