Posizione reciproca di una retta e una circonferenza

Una retta e una circonferenza nel piano possono incontrarsi solo in tre modi. O la retta interseca la circonferenza in due punti, e allora la chiamiamo secante. Oppure la tocca in un solo punto, ed è una tangente. Oppure le passa accanto senza toccarla, per cui non hanno alcun punto in comune, ed è una retta esterna. Non ci sono altre possibilità: una retta non può avere tre punti in comune con una circonferenza. Un bell’esempio di tangente è una ruota che poggia sulla strada: la tocca in un solo punto.

In figura la retta blu p è la secante, la rossa t è la tangente e la verde q è la retta esterna. I punti in comune sono evidenziati in arancione. Le tre rette sono parallele e si differenziano solo per la distanza dal centro O. Ed è proprio questa distanza che conta.

In base alla distanza dal centro

La distanza del centro dalla retta è la lunghezza del percorso più breve dal centro alla retta. Questo percorso è sempre perpendicolare: dal centro tracciamo la perpendicolare alla retta e misuriamo il segmento che va dal centro al punto in cui la perpendicolare interseca la retta. Fino a qualsiasi altro punto della retta la distanza dal centro è maggiore, perché un segmento del genere è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo e l’ipotenusa è più lunga di un cateto. In figura queste perpendicolari sono grigie tratteggiate e l’angolo retto su ogni retta è segnato con un quadratino.

Indichiamo questa distanza con d e confrontiamola con il raggio r:

• d < r – la retta dista dal centro meno del raggio, quindi entra nella circonferenza e ne esce. È una secante.
• d = r – la retta tocca la circonferenza soltanto in un punto. È una tangente.
• d > r – la retta è più lontana dal centro di quanto si estenda la circonferenza. È una retta esterna.

Nel caso della tangente la perpendicolare passa esattamente per il punto di tangenza, ed è per questo che la tangente è sempre perpendicolare al raggio che arriva al punto di tangenza.

La distanza del centro dalla retta si determina con la formula della distanza di un punto da una retta. Per il punto O(m; n) e la retta ax + by + c = 0 vale:

$$d=\frac{|a\cdot m+b\cdot n+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

La formula richiede la retta in forma implicita. Se è data, per esempio, come y = x + 1, dobbiamo prima portarla nella forma x − y + 1 = 0, altrimenti sostituiamo i numeri sbagliati.

Proviamo la formula sulla circonferenza x² + y² = 25 e sulla retta 3x − 4y − 25 = 0. Secondo l’equazione della circonferenza questa circonferenza ha il centro nell’origine O(0; 0) e il raggio $r=\sqrt{25}=5$. Dall’equazione della retta leggiamo a = 3, b = −4 e c = −25 e sostituiamo:

$$d=\frac{|3\cdot 0-4\cdot 0-25|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-25|}{\sqrt{9+16}}$$

E concludiamo il calcolo:

$$d=\frac{25}{\sqrt{25}}=\frac{25}{5}=5$$

Otteniamo 5, cioè esattamente il raggio, e la retta è quindi tangente alla circonferenza.

In figura la distanza d è in rosso. La perpendicolare condotta dal centro è lunga quanto il raggio, quindi termina esattamente sulla circonferenza, nel punto T in cui la retta tocca la circonferenza.

Questo procedimento è rapido e va bene quando ci basta sapere come si trova la retta rispetto alla circonferenza. Non ci dice però dove esattamente la interseca o la tocca. Per saperlo dobbiamo fare i calcoli.

Calcolo dei punti comuni

Un punto comune alla retta e alla circonferenza deve soddisfare contemporaneamente entrambe le equazioni, quindi risolviamo un sistema di equazioni, come per la posizione reciproca di due rette: dall’equazione della retta ricaviamo un’incognita e la sostituiamo nell’equazione della circonferenza. Otteniamo un’equazione di secondo grado e quante soluzioni ha, tanti punti in comune ha la retta con la circonferenza. Il numero delle soluzioni ce lo rivela il discriminante:

• Δ> 0 – due soluzioni, la retta è secante,
• Δ= 0 – una soluzione (doppia), la retta è tangente,
• Δ< 0 – nessuna soluzione, la retta è esterna.

Primo esempio: Abbiamo la circonferenza x² + y² = 25 e la retta y = x + 1. Al posto di y sostituiamo nell’equazione della circonferenza l’espressione x + 1:

$$x^2+(x+1{)}^2=25$$

Sviluppiamo la parentesi:

$$x^2+x^2+2x+1=25$$

Sommiamo e portiamo tutto a sinistra:

$$2x^2+2x-24=0$$

Dividiamo l’intera equazione per due:

$$x^2+x-12=0$$

Calcoliamo il discriminante:

$$\mathrm{\Delta }=1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+48=49$$

Il discriminante è positivo, quindi la retta è secante. Le soluzioni sono

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm 7}{2},$$

cioè x₁ = 3 e x₂ = −4. Non abbiamo ancora finito: cerchiamo i punti, non solo le loro ascisse. Le ordinate le ricaviamo dall’equazione della retta y = x + 1: per x = 3 è y = 4 e per x = −4 è y = −3. La retta interseca quindi la circonferenza nei punti P(3; 4) e Q(−4; −3).

Verifica per il punto P: 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Torna, il punto appartiene alla circonferenza.

Secondo esempio: Riprendiamo la retta 3x − 4y = 25 della sezione precedente. Di questa sappiamo già che è tangente, quindi ora resta da trovare il punto di tangenza. Prima ricaviamo y:

$$y=\frac{3x-25}{4}$$

Sostituiamo nell’equazione della circonferenza:

$$x^2+{\left(\frac{3x-25}{4}\right)}^2=25$$

Eleviamo al quadrato la frazione, numeratore e denominatore separatamente:

$$x^2+\frac{9x^2-150x+625}{16}=25$$

Per far sparire la frazione moltiplichiamo l’intera equazione per sedici:

$$16x^2+9x^2-150x+625=400$$

Sommiamo i termini simili e portiamoli a sinistra:

$$25x^2-150x+225=0$$

Dividiamo per venticinque:

$$x^2-6x+9=0$$

Discriminante:

$$\mathrm{\Delta }=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$$

Zero, quindi la retta è tangente. Lo sapevamo già, ma è utile vedere che i due metodi portano allo stesso risultato. L’unica radice (doppia) è $x=\frac{6}{2}=3$ e sostituendo in $y=\frac{3x-25}{4}$ otteniamo $y=\frac{9-25}{4}=-4$. Il punto di tangenza è T(3; −4).

Terzo esempio: Proviamo la retta y = x + 10. Dopo la sostituzione in x² + y² = 25 si ottiene l’equazione 2x² + 20x + 75 = 0 e il discriminante Δ= 20² − 4 · 2 · 75 = 400 − 600 = −200. Un discriminante negativo significa che l’equazione non ha soluzioni, e la retta è quindi esterna.