Onderlinge ligging van een lijn en een cirkel

Een lijn en een cirkel kunnen elkaar in het vlak op maar drie manieren ontmoeten. De lijn snijdt de cirkel in twee punten, en dan noemen we haar een snijlijn. Of ze raakt de cirkel maar in één punt, en dat is een raaklijn. Of ze loopt er helemaal langs, zodat ze geen gemeenschappelijk punt hebben, en dan is het een lijn buiten de cirkel. Meer mogelijkheden zijn er niet, drie gemeenschappelijke punten kan een lijn met een cirkel niet hebben. Een mooi voorbeeld van een raaklijn is een fiets op de weg: het wiel raakt de weg in maar één punt.

In de tekening is de blauwe lijn p een snijlijn, de rode t een raaklijn en de groene q een lijn buiten de cirkel. De gemeenschappelijke punten zijn oranje gemarkeerd. Alle drie de lijnen zijn evenwijdig en verschillen alleen in de afstand tot het middelpunt M. En daar gaat het precies om.

Aan de hand van de afstand tot het middelpunt

De afstand van het middelpunt tot een lijn is de lengte van de kortste weg van het middelpunt naar de lijn. Die loopt altijd loodrecht: vanuit het middelpunt trekken we een loodlijn op de lijn en meten het lijnstuk van het middelpunt tot de plaats waar de loodlijn de lijn snijdt. Naar elk ander punt van de lijn is het vanuit het middelpunt verder, omdat zo'n lijnstuk de schuine zijde van een rechthoekige driehoek is en de schuine zijde langer is dan een rechthoekszijde. In de tekening zijn deze loodlijnen grijs gestreept en de rechte hoek bij elke lijn is aangegeven met een boogje met een punt.

We noemen deze afstand d en vergelijken hem met de straal r:

• d < r — de lijn is dichter bij het middelpunt dan de straal, dus ze komt de cirkel binnen en gaat er weer uit. Het is een snijlijn.
• d = r — de lijn raakt de cirkel maar. Het is een raaklijn.
• d > r — de lijn is verder van het middelpunt dan de cirkel reikt. Het is een lijn buiten de cirkel.

Bij een raaklijn gaat de loodlijn precies door het raakpunt, en daarom staat een raaklijn altijd loodrecht op de straal die naar het raakpunt loopt.

De afstand van het middelpunt tot de lijn bepalen we met de formule voor de afstand van een punt tot een lijn. Voor het punt M(x_M, y_M) en de lijn ax + by = c geldt:

$$d=\frac{|a\cdot x_M+b\cdot y_M-c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

De formule vraagt de lijn in de algemene vorm. Als hij bijvoorbeeld gegeven is als y = x + 1, moeten we hem eerst omwerken tot x − y = −1, anders vullen we de verkeerde getallen in.

We proberen de formule uit op de cirkel x² + y² = 25 en de lijn 3x − 4y = 25. De cirkel heeft volgens de vergelijking van een cirkel het middelpunt in de oorsprong M(0, 0) en straal $r=\sqrt{25}=5$. Uit de vergelijking van de lijn lezen we a = 3, b = −4 en c = 25 af en vullen in:

$$d=\frac{|3\cdot 0-4\cdot 0-25|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-25|}{\sqrt{9+16}}$$

En we rekenen verder uit:

$$d=\frac{25}{\sqrt{25}}=\frac{25}{5}=5$$

Er kwam 5 uit, dus precies de straal, en de lijn is daarom een raaklijn van de cirkel.

In de tekening is de afstand d rood. De loodlijn uit het middelpunt is even lang als de straal, dus ze eindigt precies op de cirkel, in het punt T waar de lijn de cirkel raakt.

Deze werkwijze is snel en handig als we alleen willen weten hoe de lijn ten opzichte van de cirkel ligt. Ze verraadt ons alleen niet waar de lijn de cirkel precies snijdt of raakt. Daarvoor moeten we rekenen.

De gemeenschappelijke punten uitrekenen

Een gemeenschappelijk punt van een lijn en een cirkel moet tegelijk aan beide vergelijkingen voldoen, dus we lossen een stelsel vergelijkingen op, net als bij de onderlinge ligging van twee lijnen: uit de vergelijking van de lijn drukken we een onbekende uit en die vullen we in de vergelijking van de cirkel in. We krijgen een kwadratische vergelijking, en zoveel oplossingen als die heeft, zoveel gemeenschappelijke punten heeft de lijn met de cirkel. Het aantal oplossingen verraadt de discriminant:

• D > 0 — twee oplossingen, de lijn is een snijlijn,
• D = 0 — één (dubbele) oplossing, de lijn is een raaklijn,
• D < 0 — geen oplossing, de lijn ligt buiten de cirkel.

Eerste voorbeeld: We hebben de cirkel x² + y² = 25 en de lijn y = x + 1. Voor y vullen we in de vergelijking van de cirkel de uitdrukking x + 1 in:

$$x^2+(x+1{)}^2=25$$

We werken het haakje uit:

$$x^2+x^2+2x+1=25$$

We tellen op en brengen alles naar de linkerkant:

$$2x^2+2x-24=0$$

De hele vergelijking delen we door twee:

$$x^2+x-12=0$$

We berekenen de discriminant:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+48=49$$

De discriminant is positief, de lijn is dus een snijlijn. De oplossingen zijn

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm 7}{2},$$

dus x₁ = 3 en x₂ = −4. We zijn nog niet klaar: we zoeken hele punten, niet alleen hun eerste coördinaat. De tweede coördinaten vinden we uit de vergelijking van de lijn y = x + 1: voor x = 3 is y = 4 en voor x = −4 is y = −3. De lijn snijdt de cirkel dus in de punten P(3, 4) en Q(−4, −3).

Controle voor punt P: 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Klopt, het punt ligt op de cirkel.

Tweede voorbeeld: We nemen opnieuw de lijn 3x − 4y = 25 uit de vorige paragraaf. Daarvan weten we al dat het een raaklijn is, dus nu moeten we nog het raakpunt vinden. Eerst drukken we y uit:

$$y=\frac{3x-25}{4}$$

We vullen in de vergelijking van de cirkel in:

$$x^2+{\left(\frac{3x-25}{4}\right)}^2=25$$

We kwadrateren de breuk, teller en noemer apart:

$$x^2+\frac{9x^2-150x+625}{16}=25$$

Om de breuk te laten verdwijnen vermenigvuldigen we de hele vergelijking met zestien:

$$16x^2+9x^2-150x+625=400$$

We nemen de termen samen en brengen ze naar de linkerkant:

$$25x^2-150x+225=0$$

We delen door vijfentwintig:

$$x^2-6x+9=0$$

Discriminant:

$$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$$

Nul, de lijn is dus een raaklijn. Dat wisten we al, maar het is handig om te zien dat beide methoden tot hetzelfde resultaat komen. De enige (dubbele) oplossing is $x=\frac{6}{2}=3$ en na invullen in $y=\frac{3x-25}{4}$ komt er $y=\frac{9-25}{4}=-4$ uit. Het raakpunt is T(3, −4).

Derde voorbeeld: We proberen de lijn y = x + 10. Na invullen in x² + y² = 25 ontstaat de vergelijking 2x² + 20x + 75 = 0 en de discriminant D = 20² − 4 · 2 · 75 = 400 − 600 = −200. Een negatieve discriminant betekent dat de vergelijking geen oplossing heeft, en de lijn ligt dus buiten de cirkel.