Gegenseitige Lage von Gerade und Kreis

Eine Gerade und ein Kreis können sich in der Ebene nur auf drei Arten begegnen. Entweder schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten, dann nennen wir sie Sekante. Oder sie berührt ihn nur in einem einzigen Punkt, und das ist die Tangente. Oder sie läuft ganz am Kreis vorbei, sodass beide keinen gemeinsamen Punkt haben, und es handelt sich um eine Passante. Mehr Möglichkeiten gibt es nicht, drei gemeinsame Punkte kann eine Gerade mit einem Kreis nicht haben. Ein schönes Beispiel für eine Tangente ist ein Rad, das auf der Straße steht: Es berührt sie nur in einem einzigen Punkt.

In der Abbildung ist die blaue Gerade p die Sekante, die rote t die Tangente und die grüne q die Passante. Die gemeinsamen Punkte sind orange hervorgehoben. Alle drei Geraden sind parallel und unterscheiden sich nur durch ihren Abstand vom Mittelpunkt S. Und genau um diesen Abstand geht es.

Über den Abstand vom Mittelpunkt

Der Abstand des Mittelpunkts von einer Geraden ist die Länge des kürzesten Weges vom Mittelpunkt zur Geraden. Dieser Weg verläuft immer senkrecht: Wir fällen vom Mittelpunkt das Lot auf die Gerade und messen die Strecke vom Mittelpunkt bis zu dem Punkt, in dem das Lot die Gerade schneidet. Zu jedem anderen Punkt der Geraden ist es vom Mittelpunkt aus weiter, denn die Strecke dorthin ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, und die Hypotenuse ist länger als jede Kathete. In der Abbildung sind diese Lote grau gestrichelt, und der rechte Winkel an jeder Geraden ist mit einem Bogen und einem Punkt markiert.

Bezeichnen wir mit d den Abstand des Mittelpunkts von der Geraden und vergleichen wir ihn mit dem Radius r:

• d < r – Die Gerade liegt näher am Mittelpunkt, als der Radius lang ist, sie dringt also in den Kreis ein und tritt wieder aus ihm aus. Es ist eine Sekante.
• d = r – Die Gerade berührt den Kreis nur. Es ist eine Tangente.
• d > r – Die Gerade ist weiter vom Mittelpunkt entfernt, als der Kreis reicht. Es ist eine Passante.

Bei der Tangente verläuft die Senkrechte genau durch den Berührpunkt, und deshalb steht die Tangente immer senkrecht auf dem Radius, der zum Berührpunkt führt.

Den Abstand des Mittelpunkts von der Geraden bestimmen wir mit der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Geraden. Für einen Punkt S(m ∣ n) und eine Gerade ax + by + c = 0 gilt:

$$d=\frac{|a\cdot m+b\cdot n+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Die Formel verlangt die Gerade in allgemeiner Form. Ist sie zum Beispiel als y = x + 1 gegeben, müssen wir sie zuerst in die Form x − y + 1 = 0 umformen, sonst setzen wir falsche Zahlen ein.

Probieren wir die Formel am Kreis x² + y² = 25 und an der Geraden 3x − 4y − 25 = 0 aus. Der Kreis hat nach der Kreisgleichung den Mittelpunkt im Ursprung S(0 ∣ 0) und den Radius $r=\sqrt{25}=5$. Aus der Gleichung der Geraden lesen wir a = 3, b = −4 und c = −25 ab und setzen ein:

$$d=\frac{|3\cdot 0-4\cdot 0-25|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-25|}{\sqrt{9+16}}$$

Und rechnen weiter:

$$d=\frac{25}{\sqrt{25}}=\frac{25}{5}=5$$

Es ist 5 herausgekommen, also genau der Radius, und die Gerade ist daher eine Tangente des Kreises.

In der Abbildung ist der Abstand d rot. Das Lot vom Mittelpunkt ist genauso lang wie der Radius, endet also genau auf dem Kreis, im Punkt T, in dem die Gerade den Kreis berührt.

Dieses Verfahren ist schnell und praktisch, wenn es uns genügt zu wissen, wie die Gerade zum Kreis liegt. Es verrät uns aber nicht, wo sie den Kreis genau schneidet oder berührt. Dafür müssen wir rechnen.

Berechnung der gemeinsamen Punkte

Ein gemeinsamer Punkt von Gerade und Kreis muss beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen, also lösen wir ein Gleichungssystem, genau wie bei der Lagebeziehung zweier Geraden: Aus der Gleichung der Geraden drücken wir eine Unbekannte aus und setzen sie in die Gleichung des Kreises ein. Es entsteht eine quadratische Gleichung, und so viele Lösungen sie hat, so viele gemeinsame Punkte hat die Gerade mit dem Kreis. Die Anzahl der Lösungen verrät uns die Diskriminante:

• D > 0 – zwei Lösungen, die Gerade ist eine Sekante,
• D = 0 – eine (doppelte) Lösung, die Gerade ist eine Tangente,
• D < 0 – keine Lösung, die Gerade ist eine Passante.

Erstes Beispiel: Wir haben den Kreis x² + y² = 25 und die Gerade y = x + 1. Für y setzen wir in die Kreisgleichung den Term x + 1 ein:

$$x^2+(x+1{)}^2=25$$

Wir quadrieren die Klammer:

$$x^2+x^2+2x+1=25$$

Wir fassen zusammen und bringen alles auf die linke Seite:

$$2x^2+2x-24=0$$

Die ganze Gleichung kürzen wir durch zwei:

$$x^2+x-12=0$$

Wir berechnen die Diskriminante:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+48=49$$

Die Diskriminante ist positiv, die Gerade ist also eine Sekante. Die Lösungen sind

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm 7}{2},$$

also x₁ = 3 und x₂ = −4. Fertig sind wir noch nicht: Wir suchen ganze Punkte, nicht nur ihre ersten Koordinaten. Die zweiten Koordinaten erhalten wir aus der Geradengleichung y = x + 1: Für x = 3 ist y = 4 und für x = −4 ist y = −3. Die Gerade schneidet den Kreis also in den Punkten P(3 ∣ 4) und Q(−4 ∣ −3).

Probe für den Punkt P: 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Das stimmt, der Punkt liegt auf dem Kreis.

Zweites Beispiel: Nehmen wir noch einmal die Gerade 3x − 4y = 25 aus dem vorigen Abschnitt. Von ihr wissen wir schon, dass sie eine Tangente ist, es bleibt also, den Berührpunkt zu finden. Zuerst drücken wir y aus:

$$y=\frac{3x-25}{4}$$

Wir setzen in die Kreisgleichung ein:

$$x^2+{\left(\frac{3x-25}{4}\right)}^2=25$$

Wir quadrieren den Bruch, Zähler und Nenner getrennt:

$$x^2+\frac{9x^2-150x+625}{16}=25$$

Damit der Bruch verschwindet, multiplizieren wir die ganze Gleichung mit sechzehn:

$$16x^2+9x^2-150x+625=400$$

Wir fassen die Terme zusammen und bringen sie auf die linke Seite:

$$25x^2-150x+225=0$$

Wir teilen durch fünfundzwanzig:

$$x^2-6x+9=0$$

Diskriminante:

$$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$$

Null, die Gerade ist also eine Tangente. Das wussten wir schon, aber es ist nützlich zu sehen, dass beide Methoden zum selben Ergebnis führen. Die einzige (doppelte) Lösung ist $x=\frac{6}{2}=3$, und nach dem Einsetzen in $y=\frac{3x-25}{4}$ erhalten wir $y=\frac{9-25}{4}=-4$. Der Berührpunkt ist T(3 ∣ −4).

Drittes Beispiel: Versuchen wir es mit der Geraden y = x + 10. Nach dem Einsetzen in x² + y² = 25 entsteht die Gleichung 2x² + 20x + 75 = 0 und die Diskriminante D = 20² − 4 · 2 · 75 = 400 − 600 = −200. Eine negative Diskriminante bedeutet, dass die Gleichung keine Lösung hat, und die Gerade ist daher eine Passante.