Σχετική θέση ευθείας και κύκλου

Μια ευθεία και ένας κύκλος μπορούν να συναντηθούν στο επίπεδο μόνο με τρεις τρόπους. Η ευθεία είτε τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία, και τότε τη λέμε τέμνουσα. Είτε τον αγγίζει μόνο σε ένα σημείο, και αυτή είναι η εφαπτομένη. Είτε περνά εντελώς δίπλα του, οπότε δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, και πρόκειται για εξωτερική ευθεία. Άλλες δυνατότητες δεν υπάρχουν· τρία κοινά σημεία μια ευθεία με έναν κύκλο δεν μπορεί να έχει. Ωραίο παράδειγμα εφαπτομένης είναι ο τροχός που στέκεται στον δρόμο: αγγίζει το οδόστρωμα μόνο σε ένα σημείο.

Στο σχήμα η μπλε ευθεία p είναι η τέμνουσα, η κόκκινη t η εφαπτομένη και η πράσινη q η εξωτερική ευθεία. Τα κοινά σημεία είναι τονισμένα με πορτοκαλί χρώμα. Και οι τρεις ευθείες είναι παράλληλες και διαφέρουν μεταξύ τους μόνο ως προς την απόσταση από το κέντρο S. Ακριβώς γι᾽ αυτή την απόσταση πρόκειται.

Με βάση την απόσταση από το κέντρο

Απόσταση του κέντρου από μια ευθεία είναι το μήκος της συντομότερης διαδρομής από το κέντρο ως την ευθεία. Η διαδρομή αυτή είναι πάντα κάθετη: από το κέντρο φέρνουμε κάθετο στην ευθεία και μετράμε το ευθύγραμμο τμήμα από το κέντρο ως το σημείο όπου η κάθετος τέμνει την ευθεία. Κάθε άλλο σημείο της ευθείας απέχει από το κέντρο περισσότερο, γιατί το τμήμα ως αυτό είναι υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου και η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από κάθε κάθετη πλευρά. Στο σχήμα οι κάθετοι αυτές είναι γκρι διακεκομμένες και η ορθή γωνία σε κάθε ευθεία σημειώνεται με τόξο και τελεία.

Ας συμβολίσουμε με d την απόσταση του κέντρου από την ευθεία και ας τη συγκρίνουμε με την ακτίνα r:

• d < r – η ευθεία είναι πιο κοντά στο κέντρο από την ακτίνα, επομένως μπαίνει μέσα στον κύκλο και βγαίνει ξανά από αυτόν. Είναι τέμνουσα.
• d = r – η ευθεία μόνο αγγίζει τον κύκλο. Είναι εφαπτομένη.
• d > r – η ευθεία απέχει από το κέντρο περισσότερο απ᾽ όσο φτάνει ο κύκλος. Είναι εξωτερική ευθεία.

Στην εφαπτομένη η κάθετος περνά ακριβώς από το σημείο επαφής, και γι᾽ αυτό η εφαπτομένη είναι πάντα κάθετη στην ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής.

Την απόσταση του κέντρου από την ευθεία τη βρίσκουμε με τον τύπο για την απόσταση σημείου από ευθεία. Για ένα σημείο S(m, n) και μια ευθεία ax + by + c = 0 ισχύει:

$$d=\frac{|a\cdot m+b\cdot n+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Ο τύπος θέλει την ευθεία σε γενική μορφή. Αν η ευθεία δίνεται π.χ. ως y = x + 1, πρέπει πρώτα να τη φέρουμε στη μορφή x − y + 1 = 0, αλλιώς θα αντικαταστήσουμε λάθος αριθμούς.

Ας δοκιμάσουμε τον τύπο στον κύκλο x² + y² = 25 και στην ευθεία 3x − 4y − 25 = 0. Ο κύκλος έχει σύμφωνα με την εξίσωση του κύκλου κέντρο στην αρχή των αξόνων S(0, 0) και ακτίνα $r=\sqrt{25}=5$. Από την εξίσωση της ευθείας διαβάζουμε a = 3, b = −4 και c = −25 και αντικαθιστούμε:

$$d=\frac{|3\cdot 0-4\cdot 0-25|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-25|}{\sqrt{9+16}}$$

Και συνεχίζουμε τον υπολογισμό:

$$d=\frac{25}{\sqrt{25}}=\frac{25}{5}=5$$

Βγήκε 5, δηλαδή ακριβώς η ακτίνα, και επομένως η ευθεία είναι εφαπτομένη του κύκλου.

Στο σχήμα η απόσταση d είναι κόκκινη. Η κάθετος από το κέντρο έχει ακριβώς το μήκος της ακτίνας, οπότε καταλήγει ακριβώς πάνω στον κύκλο, στο σημείο T όπου η ευθεία εφάπτεται του κύκλου.

Αυτή η διαδικασία είναι γρήγορη και μας κάνει όταν αρκεί να ξέρουμε πώς βρίσκεται η ευθεία ως προς τον κύκλο. Δεν μας αποκαλύπτει όμως πού ακριβώς τέμνει ή εφάπτεται στον κύκλο. Για αυτό πρέπει να κάνουμε υπολογισμούς.

Υπολογισμός των κοινών σημείων

Ένα κοινό σημείο της ευθείας και του κύκλου πρέπει να επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις ταυτόχρονα, οπότε λύνουμε ένα σύστημα εξισώσεων, όπως και στη σχετική θέση δύο ευθειών: από την εξίσωση της ευθείας λύνουμε ως προς τον έναν άγνωστο και τον αντικαθιστούμε στην εξίσωση του κύκλου. Προκύπτει μια εξίσωση δευτέρου βαθμού, και όσες λύσεις έχει, τόσα κοινά σημεία έχει η ευθεία με τον κύκλο. Τον αριθμό των λύσεων μας τον αποκαλύπτει η διακρίνουσα:

• Δ> 0 – δύο λύσεις, η ευθεία είναι τέμνουσα,
• Δ= 0 – μία (διπλή) λύση, η ευθεία είναι εφαπτομένη,
• Δ< 0 – καμία λύση, η ευθεία είναι εξωτερική.

Πρώτο παράδειγμα: Έχουμε τον κύκλο x² + y² = 25 και την ευθεία y = x + 1. Στην εξίσωση του κύκλου αντικαθιστούμε το y με την παράσταση x + 1:

$$x^2+(x+1{)}^2=25$$

Υψώνουμε την παρένθεση στο τετράγωνο:

$$x^2+x^2+2x+1=25$$

Προσθέτουμε και μεταφέρουμε τα πάντα στο πρώτο μέλος:

$$2x^2+2x-24=0$$

Διαιρούμε όλη την εξίσωση με το δύο:

$$x^2+x-12=0$$

Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα:

$$\mathrm{\Delta }=1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+48=49$$

Η διακρίνουσα είναι θετική, άρα η ευθεία είναι τέμνουσα. Οι ρίζες είναι

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm 7}{2},$$

δηλαδή x₁ = 3 και x₂ = −4. Δεν τελειώσαμε ακόμη: ψάχνουμε ολόκληρα σημεία, όχι μόνο την πρώτη τους συντεταγμένη. Τις δεύτερες συντεταγμένες τις παίρνουμε από την εξίσωση της ευθείας y = x + 1: για x = 3 είναι y = 4 και για x = −4 είναι y = −3. Η ευθεία τέμνει λοιπόν τον κύκλο στα σημεία P(3, 4) και Q(−4, −3).

Επαλήθευση για το σημείο P: 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Βγαίνει, το σημείο βρίσκεται στον κύκλο.

Δεύτερο παράδειγμα: Ας πάρουμε ξανά την ευθεία 3x − 4y = 25 από την προηγούμενη ενότητα. Για αυτήν ξέρουμε ήδη ότι είναι εφαπτομένη, οπότε μένει να βρούμε το σημείο επαφής. Πρώτα λύνουμε ως προς y:

$$y=\frac{3x-25}{4}$$

Αντικαθιστούμε στην εξίσωση του κύκλου:

$$x^2+{\left(\frac{3x-25}{4}\right)}^2=25$$

Υψώνουμε το κλάσμα στο τετράγωνο, χωριστά αριθμητή και παρονομαστή:

$$x^2+\frac{9x^2-150x+625}{16}=25$$

Για να φύγει το κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε όλη την εξίσωση με το δεκαέξι:

$$16x^2+9x^2-150x+625=400$$

Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων και τους μεταφέρουμε στο πρώτο μέλος:

$$25x^2-150x+225=0$$

Διαιρούμε με το είκοσι πέντε:

$$x^2-6x+9=0$$

Διακρίνουσα:

$$\mathrm{\Delta }=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$$

Μηδέν, άρα η ευθεία είναι εφαπτομένη. Αυτό το ξέραμε ήδη, αλλά είναι χρήσιμο να δούμε ότι οι δύο μέθοδοι καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσμα. Η μοναδική (διπλή) ρίζα είναι $x=\frac{6}{2}=3$ και μετά την αντικατάσταση στον τύπο $y=\frac{3x-25}{4}$ βγαίνει $y=\frac{9-25}{4}=-4$. Το σημείο επαφής είναι το T(3, −4).

Τρίτο παράδειγμα: Ας δοκιμάσουμε την ευθεία y = x + 10. Μετά την αντικατάσταση στην x² + y² = 25 προκύπτει η εξίσωση 2x² + 20x + 75 = 0 και διακρίνουσα Δ= 20² − 4 · 2 · 75 = 400 − 600 = −200. Αρνητική διακρίνουσα σημαίνει ότι η εξίσωση δεν έχει λύση, και η ευθεία είναι επομένως εξωτερική.