Inbördes läge för en linje och en cirkel

En linje och en cirkel kan i planet möta varandra på bara tre sätt. Antingen skär linjen cirkeln i två punkter, och då kallar vi den sekant. Eller så rör den vid cirkeln i bara en punkt, och då är den en tangent. Eller så går den helt förbi, så att de inte har någon gemensam punkt, och då är det en linje utanför cirkeln. Fler möjligheter finns inte, tre gemensamma punkter kan en linje och en cirkel inte ha. Ett bra exempel på en tangent är ett hjul som står på en väg: det rör vid vägen i bara en punkt.

I figuren är den blå linjen p en sekant, den röda t en tangent och den gröna q en linje utanför cirkeln. De gemensamma punkterna är markerade i orange. Alla tre linjerna är parallella och skiljer sig bara åt i avståndet till medelpunkten O. Och det är just det avståndet det handlar om.

Utifrån avståndet till medelpunkten

Avståndet från medelpunkten till en linje är längden av den kortaste vägen från medelpunkten till linjen. Den går alltid vinkelrätt: från medelpunkten fäller vi en normal till linjen och mäter sträckan från medelpunkten till den punkt där normalen skär linjen. Till vilken annan punkt som helst på linjen är det längre från medelpunkten, eftersom en sådan sträcka är hypotenusan i en rätvinklig triangel och hypotenusan är längre än en katet. I figuren är dessa normaler grå och streckade, och den räta vinkeln vid varje linje är markerad med en liten båge med en prick.

Vi kallar avståndet d och jämför det med radien r:

• d < r — linjen ligger närmare medelpunkten än radien, så den går in i cirkeln och ut igen. Det är en sekant.
• d = r — linjen rör bara vid cirkeln. Det är en tangent.
• d > r — linjen ligger längre från medelpunkten än cirkeln sträcker sig. Det är en linje utanför cirkeln.

För en tangent går normalen precis genom tangeringspunkten, och därför är tangenten alltid vinkelrät mot den radie som går till tangeringspunkten.

Avståndet från medelpunkten till linjen bestämmer vi med formeln för avståndet från en punkt till en linje. För punkten O(m, n) och linjen ax + by + c = 0 gäller:

$$d=\frac{|a\cdot m+b\cdot n+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Formeln kräver att linjen är given på allmän form. Om den till exempel är given som y = x + 1 måste vi först skriva om den till x − y + 1 = 0, annars sätter vi in fel tal.

Vi prövar formeln på cirkeln x² + y² = 25 och linjen 3x − 4y − 25 = 0. Enligt cirkelns ekvation har cirkeln medelpunkten i origo O(0, 0) och radien $r=\sqrt{25}=5$. Ur linjens ekvation läser vi av a = 3, b = −4 och c = −25 och sätter in:

$$d=\frac{|3\cdot 0-4\cdot 0-25|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-25|}{\sqrt{9+16}}$$

Och räknar ut:

$$d=\frac{25}{\sqrt{25}}=\frac{25}{5}=5$$

Vi fick 5, alltså precis radien, och linjen är därför en tangent till cirkeln.

I figuren är avståndet d rött. Normalen från medelpunkten är lika lång som radien, så den slutar precis på cirkeln, i punkten T där linjen tangerar cirkeln.

Den här metoden är snabb och passar när det räcker att veta hur linjen ligger i förhållande till cirkeln. Men den avslöjar inte exakt var linjen skär eller tangerar cirkeln. För det måste vi räkna vidare.

Beräkning av de gemensamma punkterna

En gemensam punkt för linjen och cirkeln måste uppfylla båda ekvationerna samtidigt, så vi löser ett ekvationssystem, på samma sätt som för två linjers inbördes läge: ur linjens ekvation löser vi ut en obekant och sätter in den i cirkelns ekvation. Vi får en andragradsekvation, och hur många lösningar den har, så många gemensamma punkter har linjen och cirkeln. Antalet lösningar visar diskriminanten D, alltså uttrycket under rottecknet i lösningsformeln:

• D > 0 — två lösningar, linjen är en sekant,
• D = 0 — en lösning (dubbelrot), linjen är en tangent,
• D < 0 — ingen reell lösning, linjen ligger utanför cirkeln.

Första exemplet: Vi har cirkeln x² + y² = 25 och linjen y = x + 1. För y sätter vi in uttrycket x + 1 i cirkelns ekvation:

$$x^2+(x+1{)}^2=25$$

Vi kvadrerar parentesen:

$$x^2+x^2+2x+1=25$$

Vi förenklar och flyttar allt till vänsterledet:

$$2x^2+2x-24=0$$

Vi förkortar hela ekvationen med två:

$$x^2+x-12=0$$

Vi beräknar diskriminanten:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+48=49$$

Diskriminanten är positiv, så linjen är en sekant. Lösningarna är

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm 7}{2},$$

alltså x₁ = 3 och x₂ = −4. Vi är inte klara än: vi söker hela punkter, inte bara deras x-koordinater. De andra koordinaterna får vi ur linjens ekvation y = x + 1: för x = 3 är y = 4 och för x = −4 är y = −3. Linjen skär alltså cirkeln i punkterna P(3, 4) och Q(−4, −3).

Kontroll för punkten P: 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Det stämmer, punkten ligger på cirkeln.

Andra exemplet: Vi tar åter linjen 3x − 4y = 25 från föregående avsnitt. Om den vet vi redan att den är en tangent, så nu återstår att hitta tangeringspunkten. Först löser vi ut y:

$$y=\frac{3x-25}{4}$$

Vi sätter in i cirkelns ekvation:

$$x^2+{\left(\frac{3x-25}{4}\right)}^2=25$$

Vi kvadrerar bråket, täljare och nämnare för sig:

$$x^2+\frac{9x^2-150x+625}{16}=25$$

För att bli av med bråket multiplicerar vi hela ekvationen med sexton:

$$16x^2+9x^2-150x+625=400$$

Vi slår ihop termerna och flyttar dem till vänsterledet:

$$25x^2-150x+225=0$$

Vi dividerar med tjugofem:

$$x^2-6x+9=0$$

Diskriminanten:

$$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$$

Noll, linjen är alltså en tangent. Det visste vi redan, men det är bra att se att båda metoderna ger samma resultat. Den enda (dubbla) lösningen är $x=\frac{6}{2}=3$, och när vi sätter in i $y=\frac{3x-25}{4}$ får vi $y=\frac{9-25}{4}=-4$. Tangeringspunkten är T(3, −4).

Tredje exemplet: Vi prövar linjen y = x + 10. När vi sätter in i x² + y² = 25 får vi ekvationen 2x² + 20x + 75 = 0 och diskriminanten D = 20² − 4 · 2 · 75 = 400 − 600 = −200. En negativ diskriminant betyder att ekvationen saknar lösning, och linjen ligger därför utanför cirkeln.