Rovnice kružnice

Kružnice je tvořená všemi body roviny, které mají od středu S stejnou vzdálenost r. Rovnice kružnice je tatáž věta, jen zapsaná souřadnicemi: bod X[x, y] leží na kružnici právě tehdy, když je od středu S[m, n] vzdálený přesně r. A vzdálenost dvou bodů nám spočítá Pythagorova věta.

Spojíme střed S s bodem X a dokreslíme vodorovnou a svislou odvěsnu, čímž vznikne pravoúhlý trojúhelník. Vodorovná odvěsna má délku x − m, svislá y − n a přepona je poloměr r. Podle Pythagorovy věty tedy platí

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2.$$

Kdyby bod X ležel vlevo nebo pod středem, vyšel by rozdíl x − m nebo y − n záporný. Nevadí to, protože druhá mocnina záporná nikdy není. Kdo zná velikost vektoru, pozná tu stejný vzorec: levá strana je druhá mocnina velikosti vektoru $\overrightarrow{SX}$.

Rovnici vyhovují souřadnice všech bodů kružnice, a jen jich. Bod, který leží uvnitř kružnice, má od středu vzdálenost menší než r, a levá strana mu tedy vyjde menší než r². U bodu venku to dopadne naopak.

Středový tvar

Rovnici

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2$$

říkáme středový tvar rovnice kružnice. Je to nejpohodlnější tvar, protože z něj hned vidíme střed S[m, n] i poloměr r.

Zkusíme si sestavit rovnici kružnice se středem S[2, −1] a poloměrem r = 3. Dosadíme m = 2, n = −1 a r = 3:

$$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=3^2$$

Minus minus jedna je plus jedna a tři na druhou je devět:

$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$$

Právě tady se dělá nejvíc chyb. Střed S[2, −1] má v rovnici znaménka obráceně: dvojka se objeví jako −2, minus jednička jako +1. Kdo napíše (x + 2)² + (y − 1)² = 9, dostane kružnici se středem [−2, 1], tedy úplně jinde. Stejná past číhá i při čtení: z rovnice (x + 5)² + (y − 3)² = 16 vyčteme střed S[−5, 3], ne [5, −3]. A třetí záludnost: vpravo je r², ne r. Tahle kružnice má poloměr $\sqrt{16}=4$, ne šestnáct.

Nejjednodušší je kružnice se středem v počátku [0, 0]. Obě závorky se zjednoduší a zbude rovnice x² + y² = r².

Kružnice daná průměrem

Často nám zadání střed ani poloměr rovnou neprozradí. Například máme najít kružnici, jejímž průměrem je úsečka AB, kde A[−1, 2] a B[5, −6].

Střed kružnice leží přesně uprostřed průměru, takže je zároveň středem úsečky AB. Jeho souřadnice dostaneme jako průměry souřadnic bodů A a B:

$$S=[\frac{-1+5}{2},\frac{2+(-6)}{2}]=[\frac{4}{2},\frac{-4}{2}]=[2,-2]$$

Poloměr je polovina průměru, takže nejdřív spočítáme délku úsečky AB. Rozdíly souřadnic jsou 5 − (−1) = 6 a −6 − 2 = −8. A použijeme Pythagorovu větu:

$$|AB|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Průměr je deset, poloměr je tedy r = 5. Chybou by bylo dosadit za poloměr celou délku |AB|, kružnice by pak byla dvakrát větší. Dosadíme do středového tvaru:

$$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=25$$

Zkoušku uděláme dosazením bodu A: (−1 − 2)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25. Sedí, bod A na kružnici leží.

Obecný tvar

Když ve středovém tvaru roznásobíme závorky, dostaneme obecný tvar rovnice kružnice. Vyjdeme z první kružnice (x − 2)² + (y + 1)² = 9 a umocníme obě závorky podle vzorců (a − b)² = a² − 2ab + b² a (a + b)² = a² + 2ab + b²:

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2& =& 9\\ x^2-4x+4+y^2+2y+1& =& 9\end{array}$$

Členy seřadíme a devítku převedeme doleva, ať vpravo zůstane nula:

$$x^2+y^2-4x+2y+4+1-9=0$$

Sečteme čísla:

$$x^2+y^2-4x+2y-4=0$$

Pořád jde o tutéž kružnici, jen v jiném zápisu. Obecný tvar se píše jako x² + y² + ax + by + c = 0. Všimněte si, že u x² i y² je stejné číslo a člen x · y chybí. Podle toho kružnici obvykle poznáme, jistotu ale dá až převod zpátky na středový tvar. Rovnice x² + 4y² = 4 už kružnici nepopisuje, je to elipsa.

Z obecného tvaru střed ani poloměr na první pohled nevyčteme, takže ho musíme umět převést zpátky.

Z obecného tvaru zpátky

Máme rovnici x² + y² + 6x − 8y = 0 a chceme zjistit, kde má střed a jaký je její poloměr. Použijeme doplnění na čtverec, zvlášť pro x a zvlášť pro y. Nejprve seskupíme členy podle proměnné:

$$(x^2+6x)+(y^2-8y)=0$$

Polovina šestky je tři, jenže (x + 3)² = x² + 6x + 9, takže jsme přidali devítku navíc a musíme ji zase odečíst. Proto x² + 6x = (x + 3)² − 9. Polovina z minus osmičky je minus čtyři, takže y² − 8y = (y − 4)² − 16. Dosadíme:

$$(x+3{)}^2-9+(y-4{)}^2-16=0$$

Převedeme čísla na pravou stranu:

$$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=25$$

Hotovo, tohle je středový tvar. Pozor na znaménka, střed je S[−3, 4] a poloměr $r=\sqrt{25}=5$. Původní rovnice neměla žádné číslo bez proměnné, a proto jí vyhovuje bod [0, 0], a kružnice tedy prochází počátkem. Zkouška to potvrdí: (0 + 3)² + (0 − 4)² = 9 + 16 = 25.

Kdyby po doplnění na čtverec vyšlo vpravo záporné číslo, nejde o kružnici, protože součet dvou druhých mocnin záporný být nemůže. Při nule by rovnici splnil jen samotný střed.

Leží bod na kružnici?

Souřadnice bodu dosadíme do levé strany středového tvaru a výsledek porovnáme s r². Vezmeme bod A[1, 2] a první kružnici (x − 2)² + (y + 1)² = 9:

$$(1-2{)}^2+(2+1{)}^2=1+9=10$$

Vyšlo 10, a to je víc než 9. Bod A je tedy od středu dál, než je poloměr, a leží vně kružnice. Při přesně 9 by ležel na kružnici, při menším čísle uvnitř.