Indbyrdes beliggenhed af en linje og en cirkel

En linje og en cirkel i planen kan kun forholde sig til hinanden på tre måder. Enten skærer linjen cirklen i to punkter, og så kalder vi den en sekant. Eller også rører den kun cirklen i ét punkt, og det er en tangent. Eller også går den helt uden om cirklen, så de ikke har noget fælles punkt, og så er det en linje uden for cirklen. Flere muligheder er der ikke: En linje kan ikke have tre fælles punkter med en cirkel. Et godt eksempel på en tangent er et hjul, der står på vejen: Det rører kun vejen i ét punkt.

På figuren er den blå linje p en sekant, den røde t en tangent og den grønne q en linje uden for cirklen. De fælles punkter er markeret med orange. Alle tre linjer er parallelle og adskiller sig kun ved deres afstand til centrum M. Og det er netop den afstand, det handler om.

Ud fra afstanden til centrum

Afstanden fra centrum til en linje er længden af den korteste vej fra centrum hen til linjen. Den går altid vinkelret: Fra centrum tegner vi en normal til linjen og måler linjestykket fra centrum til det sted, hvor normalen skærer linjen. Til ethvert andet punkt på linjen er der længere fra centrum, fordi sådan et linjestykke er hypotenusen i en retvinklet trekant, og hypotenusen er længere end kateten. På figuren er disse normaler grå og stiplede, og den rette vinkel ved hver linje er markeret med en lille bue med en prik.

Lad os kalde afstanden dist og sammenligne den med radius r:

• dist < r — linjen ligger tættere på centrum end radius, så den går ind i cirklen og ud igen. Det er en sekant.
• dist = r — linjen rører kun cirklen. Det er en tangent.
• dist > r — linjen ligger længere fra centrum, end cirklen rækker. Det er en linje uden for cirklen.

Ved en tangent går normalen netop gennem røringspunktet, og derfor er tangenten altid vinkelret på den radius, der går til røringspunktet.

Afstanden fra centrum til linjen beregner vi med formlen for afstanden fra et punkt til en linje. For punktet M(m, n) og linjen ax + by + c = 0 gælder:

$$\mathrm{dist}=\frac{|a\cdot m+b\cdot n+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Formlen kræver linjen på almen form. Hvis den for eksempel er givet som y = x + 1, må vi først omskrive den til x − y + 1 = 0, ellers indsætter vi de forkerte tal.

Lad os prøve formlen på cirklen x² + y² = 25 og linjen 3x − 4y − 25 = 0. Ifølge cirklens ligning har cirklen centrum i origo M(0, 0) og radius $r=\sqrt{25}=5$. Af linjens ligning aflæser vi a = 3, b = −4 og c = −25 og indsætter:

$$\mathrm{dist}=\frac{|3\cdot 0-4\cdot 0-25|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-25|}{\sqrt{9+16}}$$

Og så regner vi videre:

$$\mathrm{dist}=\frac{25}{\sqrt{25}}=\frac{25}{5}=5$$

Vi fik 5, altså præcis radius, og linjen er derfor en tangent til cirklen.

På figuren er afstanden dist tegnet med rødt. Normalen fra centrum er lige så lang som radius, så den ender præcis på cirklen, i punktet T, hvor linjen rører cirklen.

Denne fremgangsmåde er hurtig og praktisk, når vi blot skal vide, hvordan linjen ligger i forhold til cirklen. Den fortæller os dog ikke, hvor præcis linjen skærer eller rører cirklen. Det må vi regne ud.

Beregning af de fælles punkter

Et fælles punkt for linjen og cirklen skal opfylde begge ligninger samtidig, så vi løser et ligningssystem, ligesom ved indbyrdes beliggenhed af to linjer: Af linjens ligning isolerer vi den ene ubekendte og indsætter den i cirklens ligning. Vi får en andengradsligning, og linjen har lige så mange fælles punkter med cirklen, som ligningen har løsninger. Antallet af løsninger afgør diskriminanten:

• d > 0 — to løsninger, linjen er en sekant,
• d = 0 — én (dobbelt) løsning, linjen er en tangent,
• d < 0 — ingen løsning, linjen ligger uden for cirklen.

Første eksempel: Vi har cirklen x² + y² = 25 og linjen y = x + 1. Vi indsætter udtrykket x + 1 for y i cirklens ligning:

$$x^2+(x+1{)}^2=25$$

Vi kvadrerer parentesen:

$$x^2+x^2+2x+1=25$$

Vi reducerer og flytter alt over på venstre side:

$$2x^2+2x-24=0$$

Hele ligningen dividerer vi med to:

$$x^2+x-12=0$$

Vi beregner diskriminanten:

$$d=1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+48=49$$

Diskriminanten er positiv, så linjen er en sekant. Løsningerne er

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm 7}{2},$$

altså x₁ = 3 og x₂ = −4. Vi er dog ikke færdige: Vi leder efter hele punkterne, ikke kun deres førstekoordinater. Andenkoordinaterne får vi af linjens ligning y = x + 1: For x = 3 er y = 4, og for x = −4 er y = −3. Linjen skærer altså cirklen i punkterne P(3, 4) og Q(−4, −3).

Prøve for punktet P: 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Det passer, punktet ligger på cirklen.

Andet eksempel: Vi tager igen linjen 3x − 4y = 25 fra det foregående afsnit. Den ved vi allerede er en tangent, så nu mangler vi at finde røringspunktet. Først isolerer vi y:

$$y=\frac{3x-25}{4}$$

Vi indsætter i cirklens ligning:

$$x^2+{\left(\frac{3x-25}{4}\right)}^2=25$$

Vi kvadrerer brøken, tæller og nævner hver for sig:

$$x^2+\frac{9x^2-150x+625}{16}=25$$

For at slippe af med brøken ganger vi hele ligningen med seksten:

$$16x^2+9x^2-150x+625=400$$

Vi reducerer og flytter leddene over på venstre side:

$$25x^2-150x+225=0$$

Vi dividerer med femogtyve:

$$x^2-6x+9=0$$

Diskriminant:

$$d=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$$

Nul, så linjen er en tangent. Det vidste vi allerede, men det er rart at se, at begge metoder kommer frem til det samme resultat. Den eneste (dobbelte) løsning er $x=\frac{6}{2}=3$, og når vi indsætter i $y=\frac{3x-25}{4}$, får vi $y=\frac{9-25}{4}=-4$. Røringspunktet er T(3, −4).

Tredje eksempel: Lad os prøve linjen y = x + 10. Når vi indsætter i x² + y² = 25, får vi ligningen 2x² + 20x + 75 = 0 og diskriminanten d = 20² − 4 · 2 · 75 = 400 − 600 = −200. En negativ diskriminant betyder, at ligningen ikke har nogen løsning, og linjen ligger derfor uden for cirklen.