Wzajemne położenie prostej i okręgu

Prosta i okrąg mogą się na płaszczyźnie spotkać tylko na trzy sposoby. Prosta albo przecina okrąg w dwóch punktach i wtedy nazywamy ją sieczną. Albo dotyka go tylko w jednym punkcie i jest to styczna. Albo przechodzi zupełnie obok, więc nie mają żadnego punktu wspólnego, i mamy prostą zewnętrzną. Więcej możliwości nie ma, trzech punktów wspólnych prosta z okręgiem mieć nie może. Ładnym przykładem stycznej jest koło stojące na jezdni: dotyka jej tylko w jednym punkcie.

Na rysunku niebieska prosta p to sieczna, czerwona t to styczna, a zielona q to prosta zewnętrzna. Punkty wspólne zaznaczono na pomarańczowo. Wszystkie trzy proste są równoległe i różnią się od siebie tylko odległością od środka S. I właśnie o tę odległość chodzi.

Według odległości od środka

Odległość środka od prostej to długość najkrótszej drogi ze środka do prostej. Ta droga zawsze biegnie prostopadle: ze środka prowadzimy prostą prostopadłą do danej prostej i mierzymy odcinek od środka do punktu, w którym ją przecina. Każdy inny punkt prostej leży dalej od środka, bo odcinek do niego jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, a przeciwprostokątna jest dłuższa od każdej przyprostokątnej. Na rysunku te prostopadłe są szare przerywane, a kąt prosty przy każdej prostej jest zaznaczony łukiem z kropką.

Oznaczmy przez d odległość środka od prostej i porównajmy ją z promieniem r:

• d < r — prosta jest bliżej środka, niż wynosi promień, więc wchodzi do okręgu i wychodzi z niego na zewnątrz. To sieczna.
• d = r — prosta tylko dotyka okręgu. To styczna.
• d > r — prosta jest od środka dalej, niż sięga okrąg. To prosta zewnętrzna.

W przypadku stycznej ta prosta prostopadła przechodzi dokładnie przez punkt styczności, i dlatego styczna jest zawsze prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.

Odległość środka od prostej obliczymy ze wzoru na odległość punktu od prostej. Dla punktu S = (m, n) i prostej Ax + By + C = 0 mamy:

$$d=\frac{|A\cdot m+B\cdot n+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Wzór wymaga prostej w postaci ogólnej. Jeśli jest podana na przykład jako y = x + 1, musimy ją najpierw przekształcić do postaci x − y + 1 = 0, inaczej podstawimy złe liczby.

Wypróbujmy wzór na okręgu x² + y² = 25 i prostej 3x − 4y − 25 = 0. Okrąg ma według równania okręgu środek w początku układu współrzędnych S = (0, 0) i promień $r=\sqrt{25}=5$. Z równania prostej odczytujemy A = 3, B = −4 i C = −25 i podstawiamy:

$$d=\frac{|3\cdot 0-4\cdot 0-25|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-25|}{\sqrt{9+16}}$$

I dokańczamy obliczenia:

$$d=\frac{25}{\sqrt{25}}=\frac{25}{5}=5$$

Wyszło nam 5, czyli dokładnie promień, a zatem prosta jest styczna do okręgu.

Na rysunku odległość d jest zaznaczona na czerwono. Odcinek prostopadły ze środka ma dokładnie długość promienia, więc kończy się na okręgu, w punkcie T, w którym prosta jest styczna do okręgu.

Ten sposób jest szybki i przydaje się, gdy wystarczy nam wiedzieć, jak prosta leży względem okręgu. Nie zdradzi nam jednak, w którym dokładnie miejscu przecina okrąg albo go dotyka. Do tego musimy już liczyć.

Obliczanie punktów wspólnych

Punkt wspólny prostej i okręgu musi spełniać obydwa równania jednocześnie, więc rozwiązujemy układ równań, tak samo jak przy wzajemnym położeniu dwóch prostych: z równania prostej wyznaczamy jedną niewiadomą i wstawiamy ją do równania okręgu. Wyjdzie nam równanie kwadratowe i ile ma ono rozwiązań, tyle punktów wspólnych ma prosta z okręgiem. Liczbę rozwiązań zdradzi nam wyróżnik:

• D > 0 — dwa rozwiązania, prosta jest sieczną,
• D = 0 — jedno (podwójne) rozwiązanie, prosta jest styczną,
• D < 0 — brak rozwiązań, prosta jest zewnętrzna.

Przykład pierwszy: Mamy okrąg x² + y² = 25 i prostą y = x + 1. Za y podstawiamy do równania okręgu wyrażenie x + 1:

$$x^2+(x+1{)}^2=25$$

Podnosimy nawias do kwadratu:

$$x^2+x^2+2x+1=25$$

Redukujemy wyrazy podobne i przenosimy wszystko na lewą stronę:

$$2x^2+2x-24=0$$

Dzielimy całe równanie przez dwa:

$$x^2+x-12=0$$

Obliczamy wyróżnik:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+48=49$$

Wyróżnik jest dodatni, więc prosta jest sieczną. Pierwiastki to

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm 7}{2},$$

czyli x₁ = 3 i x₂ = −4. To jeszcze nie koniec: szukamy punktów, czyli obu współrzędnych, a nie tylko pierwszej. Drugie współrzędne obliczymy z równania prostej y = x + 1: dla x = 3 jest y = 4, a dla x = −4 jest y = −3. Prosta przecina więc okrąg w punktach P = (3, 4) i Q = (−4, −3).

Sprawdzenie dla punktu P: 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Zgadza się, punkt leży na okręgu.

Przykład drugi: Weźmy jeszcze raz prostą 3x − 4y = 25 z poprzedniej części. Wiemy już, że jest styczna, więc teraz zostaje znaleźć punkt styczności. Najpierw wyznaczamy y:

$$y=\frac{3x-25}{4}$$

Podstawiamy do równania okręgu:

$$x^2+{\left(\frac{3x-25}{4}\right)}^2=25$$

Podnosimy ułamek do kwadratu, osobno licznik i mianownik:

$$x^2+\frac{9x^2-150x+625}{16}=25$$

Żeby pozbyć się ułamka, mnożymy całe równanie przez szesnaście:

$$16x^2+9x^2-150x+625=400$$

Redukujemy wyrazy podobne i przenosimy je na lewą stronę:

$$25x^2-150x+225=0$$

Dzielimy przez dwadzieścia pięć:

$$x^2-6x+9=0$$

Wyróżnik:

$$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$$

Zero, a więc prosta jest styczna. To już wiedzieliśmy, ale warto zobaczyć, że obie metody prowadzą do tego samego wyniku. Jedyny (podwójny) pierwiastek to $x=\frac{6}{2}=3$, a po podstawieniu do $y=\frac{3x-25}{4}$ wychodzi $y=\frac{9-25}{4}=-4$. Punkt styczności to T = (3, −4).

Przykład trzeci: Spróbujmy prostej y = x + 10. Po podstawieniu do x² + y² = 25 powstaje równanie 2x² + 20x + 75 = 0 i wyróżnik D = 20² − 4 · 2 · 75 = 400 − 600 = −200. Ujemny wyróżnik oznacza, że równanie nie ma rozwiązań, a prosta jest więc zewnętrzna.