Position relative d’une droite et d’un cercle

Une droite et un cercle ne peuvent se rencontrer dans le plan que de trois façons. Soit la droite coupe le cercle en deux points : on l’appelle une sécante. Soit elle ne le touche qu’en un seul point : c’est une tangente. Soit elle passe complètement à côté, sans aucun point commun : c’est une droite extérieure. Il n’y a pas d’autre possibilité, car une droite ne peut pas avoir trois points communs avec un cercle. Un bon exemple de tangente est une roue posée sur la route : elle ne touche la chaussée qu’en un seul point.

Sur la figure, la droite bleue p est une sécante, la rouge t une tangente et la verte q une droite extérieure. Les points communs sont mis en évidence en orange. Les trois droites sont parallèles et ne se distinguent que par leur distance au centre O. Et c’est précisément de cette distance qu’il s’agit.

Selon la distance au centre

La distance du centre à une droite est la longueur du plus court chemin du centre jusqu’à la droite. Ce chemin est toujours perpendiculaire : on abaisse du centre une perpendiculaire à la droite et on mesure le segment entre le centre et le point où cette perpendiculaire coupe la droite. Vers n’importe quel autre point de la droite, la distance depuis le centre est plus grande, car un tel segment est l’hypoténuse d’un triangle rectangle, et l’hypoténuse est plus longue que le côté de l’angle droit. Sur la figure, ces perpendiculaires sont en pointillés gris, et l’angle droit de chaque droite est marqué d’un petit arc accompagné d’un point.

Notons cette distance d et comparons-la au rayon r :

• d < r — la droite est plus proche du centre que le rayon : elle pénètre dans le cercle et en ressort. C’est une sécante.
• d = r — la droite ne fait que toucher le cercle. C’est une tangente.
• d > r — la droite est plus loin du centre que ne s’étend le cercle. C’est une droite extérieure.

Pour une tangente, la perpendiculaire passe exactement par le point de contact : la tangente est donc toujours perpendiculaire au rayon qui mène au point de contact.

On détermine la distance du centre à la droite à l’aide de la formule pour la distance d’un point à une droite. Pour le point O(m ; n) et la droite ax + by + c = 0, on a :

$$d=\frac{|a\cdot m+b\cdot n+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

La formule demande la droite sous forme d’équation cartésienne. Si elle est donnée par exemple sous la forme y = x + 1, il faut d’abord la transformer en x − y + 1 = 0, sinon on substitue les mauvais nombres.

Essayons la formule sur le cercle x² + y² = 25 et la droite 3x − 4y − 25 = 0. D’après l’équation du cercle, ce cercle a pour centre l’origine O(0 ; 0) et pour rayon $r=\sqrt{25}=5$. De l’équation de la droite, on lit a = 3, b = −4 et c = −25, et on substitue :

$$d=\frac{|3\cdot 0-4\cdot 0-25|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-25|}{\sqrt{9+16}}$$

On termine le calcul :

$$d=\frac{25}{\sqrt{25}}=\frac{25}{5}=5$$

On obtient 5, soit exactement le rayon : la droite est donc tangente au cercle.

Sur la figure, la distance d est en rouge. La perpendiculaire issue du centre mesure exactement le rayon : elle aboutit donc précisément sur le cercle, au point T où la droite touche le cercle.

Cette méthode est rapide et suffit lorsqu’on veut seulement savoir comment la droite est placée par rapport au cercle. Elle ne dit cependant pas où exactement la droite coupe le cercle ou le touche. Pour cela, il faut calculer.

Calcul des points communs

Un point commun à la droite et au cercle doit vérifier les deux équations à la fois : on résout donc un système d’équations, comme pour la position relative de deux droites. On exprime une inconnue à partir de l’équation de la droite et on la remplace dans l’équation du cercle. On obtient une équation du second degré, et le nombre de ses solutions donne le nombre de points communs. Ce nombre se lit dans le discriminant :

• Δ> 0 — deux solutions, la droite est une sécante,
• Δ= 0 — une seule solution (racine double), la droite est une tangente,
• Δ< 0 — aucune solution, la droite est extérieure.

Premier exemple : on considère le cercle x² + y² = 25 et la droite y = x + 1. On remplace y par l’expression x + 1 dans l’équation du cercle :

$$x^2+(x+1{)}^2=25$$

On développe le carré de la parenthèse :

$$x^2+x^2+2x+1=25$$

On additionne et on fait passer tous les termes à gauche :

$$2x^2+2x-24=0$$

On divise toute l’équation par deux :

$$x^2+x-12=0$$

Calculons le discriminant :

$$\mathrm{\Delta }=1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+48=49$$

Le discriminant est strictement positif, la droite est donc une sécante. Les racines sont

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm 7}{2},$$

soit x₁ = 3 et x₂ = −4. Ce n’est pas encore fini : on cherche les points eux-mêmes, et pas seulement leurs abscisses. On obtient les ordonnées à partir de l’équation de la droite y = x + 1 : pour x = 3, on a y = 4, et pour x = −4, on a y = −3. La droite coupe donc le cercle aux points P(3 ; 4) et Q(−4 ; −3).

Vérification pour le point P : 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Cela convient, le point appartient au cercle.

Deuxième exemple : reprenons la droite 3x − 4y = 25 de la partie précédente. On sait déjà qu’elle est tangente, il reste donc à trouver le point de contact. On commence par exprimer y :

$$y=\frac{3x-25}{4}$$

On substitue dans l’équation du cercle :

$$x^2+{\left(\frac{3x-25}{4}\right)}^2=25$$

On élève la fraction au carré, en traitant séparément le numérateur et le dénominateur :

$$x^2+\frac{9x^2-150x+625}{16}=25$$

Pour supprimer la fraction, on multiplie toute l’équation par seize :

$$16x^2+9x^2-150x+625=400$$

On regroupe les termes et on les fait passer à gauche :

$$25x^2-150x+225=0$$

On divise par vingt-cinq :

$$x^2-6x+9=0$$

Discriminant :

$$\mathrm{\Delta }=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$$

Il est nul, la droite est donc tangente. On le savait déjà, mais il est utile de voir que les deux méthodes mènent au même résultat. La racine unique (double) est $x=\frac{6}{2}=3$ et, en la substituant dans $y=\frac{3x-25}{4}$, on obtient $y=\frac{9-25}{4}=-4$. Le point de contact est T(3 ; −4).

Troisième exemple : essayons la droite y = x + 10. Après substitution dans x² + y² = 25, on obtient l’équation 2x² + 20x + 75 = 0 et le discriminant Δ= 20² − 4 · 2 · 75 = 400 − 600 = −200. Un discriminant strictement négatif signifie que l’équation n’a pas de solution, la droite est donc extérieure.