Innbyrdes beliggenhet for en linje og en sirkel

En linje og en sirkel kan i planet møtes på bare tre måter. Enten skjærer linjen sirkelen i to punkter, og da kaller vi den en sekant. Eller den berører sirkelen i bare ett punkt, og da er den en tangent. Eller den går helt utenom, slik at de ikke har noe felles punkt, og da er det en linje utenfor sirkelen. Flere muligheter finnes ikke, en linje kan ikke ha tre felles punkter med en sirkel. Et fint eksempel på en tangent er et hjul som står på veien: det berører veien i bare ett punkt.

På figuren er den blå linjen p en sekant, den røde t en tangent og den grønne q en linje utenfor sirkelen. De felles punktene er markert med oransje. Alle tre linjene er parallelle og skiller seg bare ved avstanden til sentrum S. Og det er nettopp avstanden det handler om.

Ut fra avstanden til sentrum

Avstanden fra sentrum til en linje er lengden av den korteste veien fra sentrum til linjen. Den går alltid vinkelrett: fra sentrum trekker vi en normal ned på linjen og måler linjestykket fra sentrum til stedet der normalen treffer linjen. Til et hvilket som helst annet punkt på linjen er det lenger fra sentrum, fordi et slikt linjestykke er hypotenusen i en rettvinklet trekant, og hypotenusen er lengre enn katetene. På figuren er disse normalene grå og stiplede, og den rette vinkelen ved hver linje er markert med en bue med en prikk.

La oss kalle denne avstanden d og sammenligne den med radien r:

• d < r: linjen er nærmere sentrum enn radien, så den går inn i sirkelen og ut igjen. Det er en sekant.
• d = r: linjen berører bare sirkelen. Det er en tangent.
• d > r: linjen er lenger fra sentrum enn sirkelen rekker. Det er en linje utenfor sirkelen.

For en tangent går normalen nøyaktig gjennom tangeringspunktet, og derfor står tangenten alltid vinkelrett på radien som går til tangeringspunktet.

Avstanden fra sentrum til linjen regner vi ut med formelen for avstanden fra et punkt til en linje. For punktet S(m, n) og linjen ax + by + c = 0 gjelder:

$$d=\frac{|a\cdot m+b\cdot n+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Formelen krever at linjen er gitt ved den generelle likningen. Hvis den for eksempel er gitt som y = x + 1, må vi først forme den om til x − y + 1 = 0, ellers setter vi inn feil tall.

La oss prøve formelen på sirkelen x² + y² = 25 og linjen 3x − 4y − 25 = 0. Ifølge likningen for en sirkel har sirkelen sentrum i origo S(0, 0) og radius $r=\sqrt{25}=5$. Fra likningen for linjen leser vi av a = 3, b = −4 og c = −25, og vi setter inn:

$$d=\frac{|3\cdot 0-4\cdot 0-25|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-25|}{\sqrt{9+16}}$$

Og vi regner ut:

$$d=\frac{25}{\sqrt{25}}=\frac{25}{5}=5$$

Vi fikk 5, altså nøyaktig radien, og linjen er derfor en tangent til sirkelen.

På figuren er avstanden d tegnet rød. Normalen fra sentrum er like lang som radien, så den ender nøyaktig på sirkelen, i punktet T der linjen berører sirkelen.

Denne framgangsmåten er rask og passer når det holder å vite hvordan linjen ligger i forhold til sirkelen. Men den forteller oss ikke nøyaktig hvor linjen skjærer eller berører sirkelen. For å finne det må vi regne.

Utregning av felles punkter

Et felles punkt for linjen og sirkelen må oppfylle begge likningene samtidig, så vi løser et likningssett, på samme måte som for den innbyrdes beliggenheten til to linjer: fra likningen for linjen uttrykker vi den ene ukjente og setter den inn i likningen for sirkelen. Da får vi en andregradslikning, og antall løsninger er lik antall felles punkter mellom linjen og sirkelen. Antall løsninger forteller diskriminanten oss:

• D > 0: to løsninger, linjen er en sekant,
• D = 0: én (dobbel) løsning, linjen er en tangent,
• D < 0: ingen løsning, linjen ligger utenfor sirkelen.

Første eksempel: Vi har sirkelen x² + y² = 25 og linjen y = x + 1. For y setter vi inn uttrykket x + 1 i likningen for sirkelen:

$$x^2+(x+1{)}^2=25$$

Vi ganger ut parentesen:

$$x^2+x^2+2x+1=25$$

Vi legger sammen og flytter alt over på venstre side:

$$2x^2+2x-24=0$$

Vi forkorter hele likningen med to:

$$x^2+x-12=0$$

Vi regner ut diskriminanten:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+48=49$$

Diskriminanten er positiv, så linjen er en sekant. Løsningene er

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm 7}{2},$$

altså x₁ = 3 og x₂ = −4. Vi er ikke ferdige ennå: vi skal finne hele punktene, ikke bare førstekoordinatene. Andrekoordinatene får vi fra likningen for linjen y = x + 1: for x = 3 er y = 4, og for x = −4 er y = −3. Linjen skjærer altså sirkelen i punktene P(3, 4) og Q(−4, −3).

Kontroll for punktet P: 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Det stemmer, punktet ligger på sirkelen.

Andre eksempel: La oss igjen ta linjen 3x − 4y = 25 fra forrige avsnitt. Vi vet allerede at den er en tangent, så nå gjenstår det å finne tangeringspunktet. Først uttrykker vi y:

$$y=\frac{3x-25}{4}$$

Vi setter inn i likningen for sirkelen:

$$x^2+{\left(\frac{3x-25}{4}\right)}^2=25$$

Vi kvadrerer brøken, teller og nevner hver for seg:

$$x^2+\frac{9x^2-150x+625}{16}=25$$

For at brøken skal forsvinne, multipliserer vi hele likningen med seksten:

$$16x^2+9x^2-150x+625=400$$

Vi samler leddene og flytter dem over på venstre side:

$$25x^2-150x+225=0$$

Vi deler på tjuefem:

$$x^2-6x+9=0$$

Diskriminanten:

$$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$$

Null, så linjen er en tangent. Det visste vi allerede, men det er nyttig å se at begge metodene gir det samme resultatet. Den eneste (doble) løsningen er $x=\frac{6}{2}=3$, og når vi setter inn i $y=\frac{3x-25}{4}$, får vi $y=\frac{9-25}{4}=-4$. Tangeringspunktet er T(3, −4).

Tredje eksempel: La oss prøve linjen y = x + 10. Når vi setter inn i x² + y² = 25, får vi likningen 2x² + 20x + 75 = 0 og diskriminanten D = 20² − 4 · 2 · 75 = 400 − 600 = −200. En negativ diskriminant betyr at likningen ikke har noen løsning, så linjen ligger utenfor sirkelen.